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Stieltjes’scher Inhalt

Der Stieltjes’sche Inhalt, benannt nach dem Mathematiker Thomas Jean Stieltjes, ist ein Inhalt, mit dem man das Riemann-Integral zum Lebesgue-Stieltjes-Integral verallgemeinern kann.

Stieltjes’scher Inhalt

Der Stieltjes’sche Inhalt wird auf dem Halbring {\mathcal  {J}}:=\{]a,b]:a,b\in {\mathbb  {R}},a\leq b\} über \mathbb {R} definiert. Da man Inhalte auf einem Halbring eindeutig auf ihrem erzeugten Ring fortsetzen kann, kann er auf der Menge

{\mathcal  {F}}:=\left\{\left.\bigcup _{{j=1}}^{n}I_{j}\,\right|\,I_{1},\dotsc ,I_{n}\in {\mathcal  {J}},I_{j}\cap I_{k}=\emptyset {\text{ wenn }}j\neq k\right\}

betrachtet werden.

Ist F:{\mathbb  {R}}\rightarrow {\mathbb  {R}} eine monoton wachsende Funktion, so nennt man den Inhalt

\mu _{F}:{\mathcal  {J}}\rightarrow {\mathbb  {R}},\mu _{F}(]a,b]):=F(b)-F(a),(a\leq b)

den zu F gehörenden Stieltjes’schen Inhalt. Er ist σ-endlich.

Darstellung von Inhalten

Ist \mu :{\mathcal  {J}}\rightarrow {\mathbb  {R}} ein endlicher Inhalt und wird F:{\mathbb  {R}}\rightarrow {\mathbb  {R}} definiert durch

F(x):={\begin{cases}\mu (]0,x]),&{\mbox{wenn }}x\geq 0\\-\mu (]x,0]),&{\mbox{wenn }}x<0\end{cases}},

so ist  F eine monoton wachsende Funktion und es gilt \mu =\mu _{F}. Damit lässt sich also jeder endliche Inhalt auf \mathbb {R} als Stieltjes’scher Inhalt darstellen.

Lebesgue-Stieltjes’sches Prämaß

Man ist oft daran interessiert, ob ein Inhalt σ-additiv ist, also

\mu_F \left(\bigcup_{i=1}^\infty I_i\right)= \sum_{i=1}^\infty \mu_F(I_i)

gilt, wenn die I_{i} paarweise verschieden sind. σ-additive Inhalte sind nämlich Prämaße und lassen sich zu Maßen fortsetzen. Der Stieltjes’sche Inhalt ist genau dann ein Prämaß, wenn F rechtsstetig ist. In diesem Fall nennt man  \mu_F das zu  F gehörige Lebesgue-Stieltjes’sche Prämaß. Als Spezialfall ergibt sich für F(x)=x das Lebesguesche Prämaß. Hat man hingegen als Mengensystem den Halbring der links abgeschlossenen Intervalle gewählt, so ist  \mu_F ein Prämaß, genau dann wenn  F linksseitig stetig ist. Dieses Prämaß ist ebenfalls σ-endlich.

Lebesgue-Stieltjes-Integral

Mithilfe des Stieltjes’schen Inhalts kann man das Riemann-Integral zum Lebesgue-Stieltjes-Integral \textstyle \int _{{a}}^{{b}}g(x)\ {\mathrm  {d}}F(x) erweitern. Dazu verwendet man den Maßerweiterungssatz von Carathéodory, um aus dem Prämaß das Lebesgue-Stieltjes-Maß zu konstruieren. Die σ-Endlichkeit des Maßes liefert die Eindeutigkeit der Fortsetzung. Aus dem Maß lässt sich schließlich der neue Integralbegriff konstruieren.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 14.11. 2020