Stieltjes-Konstanten

Die Stieltjes-Konstanten \gamma _{n} sind eine Folge reeller Zahlen, die durch den Grenzwert

{\displaystyle \gamma _{n}:=\lim _{N\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{N}{\frac {\log ^{n}k}{k}}-{\frac {\log ^{n+1}N}{n+1}}\right),\quad n=0,1,2,\dotsc }

definiert sind, wobei \gamma _{0} die Eulersche Konstante \gamma ist. Es wird vermutet, dass die \gamma _{n} irrational sind. Ein Beweis dafür konnte bislang nicht erbracht werden. Aufgrund ihrer Definition werden sie gelegentlich auch als verallgemeinerte Eulersche Konstanten bezeichnet. Sie treten in der Laurent-Entwicklung der Riemannschen Zetafunktion

{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\gamma _{n}}{n!}}(s-1)^{n}}

und bei der Auswertung gewisser bestimmter Integrale auf:

{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\log ^{2}x}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x=(\log 2)\,{\big (}{\frac {1}{3}}\log ^{2}2+\zeta (2)-\gamma ^{2}-2\gamma _{1}{\big )}=1{,}121192486\dots }

Sie hängen eng mit den Zahlen

{\displaystyle \tau _{n}:=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\log ^{n}k}{k}},\quad n=0,1,2,\dotsc }

zusammen. Diese lassen sich numerisch gut über eine Konvergenzbeschleunigung (fortgesetzte Mittelung) berechnen. Es gilt die Rekursion

{\displaystyle \tau _{0}=\log 2}
{\displaystyle \tau _{n}={\frac {\log ^{n+1}2}{n+1}}-\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k}}\log ^{n-k}2\cdot \gamma _{k},\qquad n=1,2,\dotsc }

und die explizite Darstellung mit Hilfe der Bernoullischen Zahlen:

{\displaystyle \gamma _{n}=-{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}B_{n+1-k}\log ^{n-k}2\cdot \tau _{k},\quad n=0,1,2,\dotsc }

Aus der Rekursion ergibt sich für n=1 die Identität {\displaystyle \tau _{1}={\tfrac {1}{2}}\log ^{2}2-\gamma \log 2}, d.h. für die Eulersche Konstante die alternierende Reihe

{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{2}}\log 2+{\frac {1}{\log 2}}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log k}{k}}={\frac {1}{2}}\log 2+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log _{2}k}{k}},}

die der Reihe von Vacca sehr ähnlich ist.

Die Folge \gamma _{n} zeigt ein oszillierendes Verhalten mit asymptotisch langsam gegen 0 sinkender „Frequenz“. Bekannt ist, dass

{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln |\gamma _{n}|}{n}}=\ln \ln n}

gilt.

Numerische Werte

n Dezimalentwicklung von γn OEIS
0 0,577215664901532860606512090082 … A001620
1 −0,0728158454836767248605863758749 … A082633
2 −0,00969036319287231848453038603521 … A086279
3 0,00205383442030334586616004654275 … A086280
4 0,00232537006546730005746817017752 … A086281
5 0,000793323817301062701753334877444 … A086282
6 −0,000238769345430199609872421841908 … A183141
7 −0,000527289567057751046074097505478 … A183167
8 −0,000352123353803039509602052165001 … A183206
9 −0,000034394774418088048177914623798 … A184853
10 0,000205332814909064794683722289237 … A184854

Verallgemeinerung

Für die Hurwitzsche Zetafunktion ist von Bedeutung:

{\displaystyle \gamma _{n}(a):=\lim _{N\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{N}{\frac {\log ^{n}(k+a)}{k+a}}-{\frac {\log ^{n+1}(N+a)}{n+1}}\right),\quad n=0,1,2,\dotsc }
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 07.12. 2021