Stieltjes-Konstanten
Die Stieltjes-Konstanten sind eine Folge reeller Zahlen, die durch den Grenzwert
definiert sind, wobei die Eulersche Konstante ist. Es wird vermutet, dass die irrational sind. Ein Beweis dafür konnte bislang nicht erbracht werden. Aufgrund ihrer Definition werden sie gelegentlich auch als verallgemeinerte Eulersche Konstanten bezeichnet. Sie treten in der Laurent-Entwicklung der Riemannschen Zetafunktion
und bei der Auswertung gewisser bestimmter Integrale auf:
Sie hängen eng mit den Zahlen
zusammen. Diese lassen sich numerisch gut über eine Konvergenzbeschleunigung (fortgesetzte Mittelung) berechnen. Es gilt die Rekursion
und die explizite Darstellung mit Hilfe der Bernoullischen Zahlen:
Aus der Rekursion ergibt sich für die Identität , d.h. für die Eulersche Konstante die alternierende Reihe
die der Reihe von Vacca sehr ähnlich ist.
Die Folge zeigt ein oszillierendes Verhalten mit asymptotisch langsam gegen 0 sinkender „Frequenz“. Bekannt ist, dass
gilt.
Numerische Werte
n | Dezimalentwicklung von γn | OEIS |
0 | 0,577215664901532860606512090082 … | A001620 |
1 | −0,0728158454836767248605863758749 … | A082633 |
2 | −0,00969036319287231848453038603521 … | A086279 |
3 | 0,00205383442030334586616004654275 … | A086280 |
4 | 0,00232537006546730005746817017752 … | A086281 |
5 | 0,000793323817301062701753334877444 … | A086282 |
6 | −0,000238769345430199609872421841908 … | A183141 |
7 | −0,000527289567057751046074097505478 … | A183167 |
8 | −0,000352123353803039509602052165001 … | A183206 |
9 | −0,000034394774418088048177914623798 … | A184853 |
10 | 0,000205332814909064794683722289237 … | A184854 |
Verallgemeinerung
Für die Hurwitzsche Zetafunktion ist von Bedeutung:
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 07.12. 2021