Konvergenzbeschleunigung
Als Konvergenzbeschleunigung bezeichnet man die Ersetzung einer Folge durch eine andere, die schneller gegen denselben Grenzwert konvergiert.
Es gibt etliche verschiedene Verfahren zur Konvergenzbeschleunigung, unter denen man je nach Eigenschaften der ursprünglichen Folge wählt. Typische Anwendungen sind iterative Berechnungen, die Auswertung von Reihen und die Integration (Romberg-Verfahren).
Definition
Eine Folge
mit dem Grenzwert
konvergiert schneller als eine andere Folge
mit demselben Grenzwert, falls der Grenzwert
existiert und gleich Null ist. Erhält man
aus einer konvergenten Folge
durch eine Folgentransformation
der Gestalt
,
so spricht man von Konvergenzbeschleunigung.
Beispiel
Die Folge
konvergiert mit der Konvergenzordnung wie
gegen
.
Es gilt die asymptotische
Entwicklung
.
Diese asymptotische Reihe erzeugt die Bernoullischen Zahlen.
Die Glieder in der Summe der betrachteten Reihe können für k > 1 durch
abgeschätzt werden. Die Reihen zu den Abschätzungen links und rechts sind Teleskopreihen,
.
Die Differenz der letzten beiden Terme beträgt
Somit gilt auch
.
Die n-te Partialsumme
der darin auftretenden Reihe konvergiert mit der Konvergenzordnung wie ,
also wesentlich schneller.
Dieses Verfahren kann beliebig fortgesetzt werden, so kann die Differenz der
letzten Reihe zur Teleskopreihe
betrachtet werden.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 08.12. 2021