Gleichgradige Integrierbarkeit

Die gleichgradige Integrierbarkeit, auch gleichmäßige Integrierbarkeit genannt, ist in der Mathematik eine Verstärkung des Begriffs der Integrierbarkeit. Im Gegensatz zur Integrierbarkeit ist sie immer eine Eigenschaft einer Familie von Funktionen und nicht die einer einzelnen Funktion. Allerdings kann die Familie auch einelementig sein. Die gleichgradige Integrierbarkeit ist vor allem in der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Maßtheorie von Bedeutung, da sie es ermöglicht, mittels des Konvergenzsatzes von Vitali eine Verbindung von der Konvergenz im p-ten Mittel zu der Konvergenz in Wahrscheinlichkeit der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Konvergenz nach Maß bzw. der Konvergenz lokal nach Maß der Maßtheorie zu schlagen. Anschaulich ist eine Familie von Funktionen dann gleichgradig integrierbar, wenn das Integral über „kleinen“ Mengen auch keine zu großen Werte annimmt.

Definition

Sei $(\Omega ,{\mathcal A},\mu )$ ein Maßraum mit Maß $\mu$ und sei $\mathcal L^1 (\mu)$ die Menge der bezüglich dieses Maßes integrierbaren Funktionen. Der Positivteil einer Funktion sei mit $f^{+}:=\max\{0,f\}$ bezeichnet.

Für allgemeine Maße

Eine Familie ${\mathcal {F}}\subset {\mathcal {L}}^{1}(\mu )$ von Funktionen heißt gleichgradig integrierbar, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Definitionen erfüllt:

Für alle positiven Funktionen $g\in {\mathcal {L}}^{1}(\mu )$ gilt

$\inf _{g\geq 0}\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{\{|f|>g\}}\vert f\vert \mathrm {d} \mu =0$ .

Es sind die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:

Es ist $\sup _{f\in F}\int \vert f\vert \mathrm {d} \mu <\infty$
Es existiert eine integrierbare Funktion $h\in {\mathcal {L}}^{1}(\mu )$ , so dass für beliebiges $\varepsilon >0$ ein $\delta (\varepsilon )>0$ existiert, so dass für jede Menge $A\in {\mathcal A}$ mit

$\int _{A}h\;\mathrm {d} \mu <\delta (\varepsilon )$

gilt, dass

$\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{A}|f|\;\mathrm {d} \mu \leq \varepsilon$

ist.

Für jede positive Funktion $g\in {\mathcal {L}}^{1}(\mu )$ gilt

$\inf _{g\geq 0}\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int (\vert f\vert -g)^{+}\mathrm {d} \mu =0$ .

Für endliche Maße

Ist das Maß endlich, ist also $\mu (\Omega )<\infty$ , so vereinfachen sich die Definitionen. Die Familie heißt dann gleichgradig integrierbar, wenn eine der folgenden äquivalenten Definitionen zutrifft:

Es ist

$\inf _{a\in [0,\infty )}\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int (|f|-a)^{+}\mathrm {d} \mu =0$

Es ist

$\inf _{a\in [0,\infty )}\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{\{a<|f|\}}|f|\mathrm {d} \mu =0$

Es sind die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:

Es ist $\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int \vert f\vert \mathrm {d} \mu <\infty$ .
Für beliebiges $\varepsilon >0$ existiert ein $\delta (\varepsilon )>0$ , so dass für alle $A\in {\mathcal A}$ mit $\mu (A)<\delta (\varepsilon )$

$\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{A}|f|\mathrm {d} \mu \leq \varepsilon$

gilt.

Gleichgradig integrierbar im p-ten Mittel

Eine Familie von Funktionen $(f_{i})_{{i\in I}}$ heißt gleichgradig integrierbar im p-ten Mittel, wenn die Familie $(|f_{i}|^{p})_{i\in I}$ gleichgradig integrierbar ist.

Eigenschaften

Jede endliche Menge ${\mathcal {F}}\subset {\mathcal {L}}^{1}(\mu )$ ist gleichgradig integrierbar.
Sei ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ Familien von Funktionen und sei ${\mathcal {F}}$ gleichgradig integrierbar. Existiert zu jedem $g\in {\mathcal {G}}$ ein $f\in {\mathcal {F}}$ , so dass $\vert g\vert \leq \vert f\vert$ , so ist auch ${\mathcal {G}}$ gleichgradig integrierbar.
Existiert ein $g\in L^{1}(\mu )$ , sodass $|f|\leq |g|$ für alle $f\in {\mathcal {F}}$ , so ist ${\mathcal {F}}$ gleichgradig integrierbar. Dies ist ein direkter Spezialfall der beiden oberen Eigenschaften
Eine Folge $f_{n}$ von messbaren Funktionen konvergiert genau dann im Mittel, also bezüglich der $L^{1}$ -Norm gegen eine Funktion , wenn sie dem Maße nach konvergiert und gleichgradig integrierbar ist. Dies folgt aus dem Konvergenzsatz von Vitali.
Allgemeiner konvergiert eine Folge $f_{n}$ von messbaren Funktionen genau dann im p-ten Mittel, also bezüglich der $L^{p}$ -Norm gegen eine Funktion , wenn sie dem Maße nach konvergiert und im p-ten Mittel gleichgradig integrierbar ist. Diese Aussage folgt ebenfalls aus dem Konvergenzsatz von Vitali.
Sind ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ gleichgradig integrierbare Familien, so sind auch ${\mathcal {F}}+{\mathcal {G}}$ , ${\mathcal {F}}-{\mathcal {G}}$ und $\vert {\mathcal {F}}\vert$ gleichgradig integrierbare Familien. Die Operationen sind dabei immer elementweise zu verstehen.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de