Kranzprodukt

≀_X

Das Kranzprodukt (engl. wreath product) ist ein Begriff aus der Gruppentheorie und bezeichnet ein spezielles semidirektes Produkt von Gruppen.

Definition

Sind G und J Gruppen und operiert J auf einer Menge Y, so wird dadurch eine Operation von J auf G^Y (der Gruppe aller Abbildungen von Y nach G mit punktweiser Verknüpfung) induziert durch:

$\forall j\in J, f\in G^Y: (^jf)(y)=f(^{j^{-1}}y)$

Jedes $j\in J$ definiert auf diese Weise einen Automorphismus von G^Y .

Somit kann das Kranzprodukt $G \wr_Y J$ als das semidirekte Produkt aus G^Y und J bezüglich ebendieser Operation definiert werden. Manchmal betrachtet man auch das eingeschränkte Kranzprodukt. Dieses erhält man, indem man statt der Gruppe aller Abbildungen von nach nur die Untergruppe der Abbildungen betrachtet, die fast überall verschwinden.

Eigenschaften

Aus der Definition lässt sich sofort die Kardinalität von Kranzprodukten ableiten: $\left|G \wr_Y J\right|=\left|G\right|^{\left|Y\right|}\cdot\left|J\right|$

Da jede Gruppe auf sich selbst durch Linksmultiplikation operiert, ist es auch oft so, dass nur das entsprechende Kranzprodukt $G \wr_J J$ definiert wird. Ebenso üblich ist es, Y als endliche Menge $\{1,...,n\}$ festzusetzen und für J nur Untergruppen von Sym(n) mit der kanonischen Operation auf Y zuzulassen.

Operationen

Operiert G auf einer Menge X, so wird dadurch und durch die Operation von J auf Y eine Operation von $G \wr_Y J$ auf $X\times Y$ induziert:

$\forall (x,y)\in X\times Y, (f,j)\in G \wr_Y J: ^{(f,j)}(x,y):=(^{f(^jy)}x,^jy)$

Diese Operation ist genau dann treu/transitiv wenn die Operationen von G auf X und J auf Y treu/transitiv sind.

Gruppenerweiterungen

Ist H eine Erweiterung von N durch Q, so lässt sich H als eine Untergruppe eines Kranzprodukts aus N und Q darstellen. Dies ist vielleicht eine der wichtigsten Eigenschaften von Kranzprodukten, da jede endliche Gruppe durch Erweiterungen einfacher endlicher Gruppen darstellbar ist.

Gegeben ist also eine exakte Sequenz

$1\longrightarrow N \longrightarrow^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iota}\ \, H \longrightarrow^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\pi}\ \, Q \longrightarrow 1$

Außerdem sei eine Abbildung $q\colon H\to H$ gegeben, die $\forall g\in H:q(g)\iota(N)=g\iota(N)$ erfüllt und jedem Element einen festen Repräsentanten seiner jeweiligen Nebenklasse zuordnet. Weiterhin muss gelten $\forall g\in H:q(g^{-1})=q(g)^{-1}$ . (Ist N unendlich, so ist eine solche Funktion möglicherweise nur mit dem Auswahlaxiom zu finden)

Die Einbettung $\phi \colon H\hookrightarrow N\wr _{Q}Q$ (Q operiert auf sich selbst durch Linksmultiplikation) ist dann gegeben durch:

$\phi(h):=(\sigma_h,\pi(h))\,$

Hierbei ist $\sigma _{h}\colon Q\to N$ wie folgt definiert:

$\sigma_h(yN):=\iota^{-1}(q(y^{-1})\cdot h\cdot q(h^{-1}y))$

Diese Einbettung geht zurück auf L. Kaloujnine und M. Krasner.

Beispiele

Die p-Sylow-Gruppen der symmetrischen Gruppe $S_{n}$ lassen sich als iterierte Kranzprodukte zyklischer Gruppen darstellen.

Dazu definiert man rekursiv eine Folge von Gruppen durch $W_{p,0}:=\{1\}$ und $W_{p,n+1}:=W_{p,n} \wr_{\mathbb{Z}_p} \mathbb{Z}_p$ , wobei die Operation von $J=\mathbb{Z}_p$ auf $Y=\mathbb{Z}_p$ durch Linksmultiplikation gegeben ist.

Stellt man n zur Basis p dar, d.h. als Summe $\sum_{i=0}^{k}{c_ip^i}$ mit $c_i\in\{0,...,p-1\}$ , so sind die p-Sylow-Gruppen von $S_{n}$ dann isomorph zu $\prod_{i=0}^{k}{W_{p,i}^{c_i}}$

Zum Symbol

Die senkrechte Tilde, die für das Kranzprodukt verwendet wird, befindet sich im Unicode-Block Mathematische Operatoren auf Position U+2240, in TeX und LaTeX kann es mit \wreath bzw. \wr dargestellt werden.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de