Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis

Die Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis $C(\mathbb{Q} )$ besteht aus den Punkten (x,y) mit rationalen Koordinaten, für die x^2+y^2=1 gilt. Die Menge dieser Punkte ist eng mit den primen pythagoräischen Tripeln verwandt. Ist ein primitives rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen teilerfremden Seitenlängen a,b,c gegeben, wobei die Hypotenuse ist, dann gibt es auf dem Einheitskreis den rationalen Punkt $({\tfrac ac},{\tfrac bc})$ . Ist umgekehrt (x,y) ein rationaler Punkt auf dem Einheitskreis, dann gibt es ein primitives rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten xc,yc,c , wobei das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner von und ist.

Gruppenoperation

Die Menge der rationalen Punkte bildet eine unendliche Abelsche Gruppe. Das neutrale Element ist der Punkt (1, 0) . Die Gruppenoperation oder „Summe“ ist (x,y)+(t,u)=(xt-uy,xu+yt) . Geometrisch ist dies die Winkeladdition, wenn $x=\cos(\alpha )$ und $y=\sin(\alpha )$ , wobei $\alpha$ der Winkel des Radiusvektors (x,y) mit dem Radiusvektor (1,0) im mathematisch positiven Sinne ist. Wenn also (x,y) und (t,u) jeweils mit (1, 0) die Winkel $\alpha$ und $\beta$ bilden, ist deren Summe (xt-uy,xu+yt) der rationale Punkt auf dem Einheitskreis mit dem Winkel $\alpha +\beta$ im Sinne der gewöhnlichen Addition von Winkeln.

Identifiziert man jeweils den Punkt (x,y) mit der komplexen Zahl x+yi , so entspricht die Addition in $C(\mathbb{Q} )$ der Multiplikation in $\mathbb {C}$ .

Gruppenstruktur

Die Gruppe $C(\mathbb{Q} )$ ist isomorph zu einer unendlichen direkten Summe von zyklischen Untergruppen von $C(\mathbb{Q} )$ :

$C(\mathbb{Q} )\cong C_{2}\oplus \left(\bigoplus _{{p\in {\mathbb P}, \atop p\equiv 1{\pmod 4}}}C_{p}\right),$

wobei $C_{2}$ die durch (0,1) erzeugte Untergruppe ist, und die $C_{p}$ jene Untergruppen sind, die von Punkten der Form $\left({\tfrac {a^{2}-b^{2}}p},{\tfrac {2ab}p}\right)$ mit $a,b\in \mathbb{N} ,a>b>0,a^{2}+b^{2}=p$ erzeugt werden, wobei eine Pythagoreische Primzahl ist.

Diese Aussage ist eine Anwendung von Hilberts Satz 90 auf das Problem der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis, siehe dazu bei: Lin Tan.

Basierend auf einem Artikel in:

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