Gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit

Die gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit verbindet die Begriffe gleichmäßiger und gleichgradiger Stetigkeit.

Seien (X,d_X), (Y,d_Y) metrische Räume, sei F\subset C_{b}(X,Y) eine Teilmenge beschränkter, stetiger Funktionen. Die Funktionenfamilie/ -schar F heißt gleichgradig gleichmäßig stetig, wenn gilt:

Für alle \varepsilon >0 existiert ein \delta >0, so dass für alle x,x'\in X und für alle f\in F gilt:

d_{X}(x,x')\leq \delta \Rightarrow d_{Y}\left(f(x),f(x')\right)\leq \varepsilon .

Das heißt, wenn man ein \varepsilon vorgibt, findet man ein \delta , so dass die Aussage für alle Funktionen der Familie und für alle Punkte des Raumes gilt. \delta hängt also nur von \varepsilon ab, weder von f noch von x.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 15.06. 2020