Koordinatenfunktion

Als Koordinatenfunktion werden in der linearen Algebra und in der Topologie spezielle Funktionen bezeichnet, welche die -te Komponente eines Tupels liefern, beispielsweise die Komponenten eines Spaltenvektors oder des Funktionswertes einer Abbildung.

Definition

Seien $a\in {\mathbb {R}}^{n}$ ein -Tupel $(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n})$ und $i\in \{1,\dotsc ,n\}$ .

Dann ist die -te Koordinatenfunktion $f_{i}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ definiert als

$f_{i}(a)=a_{i}$ .

Definitionsmenge und Zielmenge für $f_{i}$ können je nach Kontext unterschiedlich definiert sein.

Topologie

Sei $\varphi \colon U^{\varphi }\to A^{\varphi }$ eine Karte auf einer Mannigfaltigkeit mit der Dimension .

Für einen Punkt $p\in U^{\varphi }$ ist dann $\varphi(p)$ ein -dimensionales Koordinatentupel in $\mathbb {R} ^{m}$ :

$\varphi (p)=(\varphi ^{1}(p),\varphi ^{2}(p),\dotsc ,\varphi ^{m}(p))$ .

Es gibt für $\varphi$ also insgesamt Koordinatenfunktionen $\varphi ^{i},\;i\in \{1,\dotsc ,m\}$ , die jeweils die -te Koordinate für $\varphi(p)$ liefern. Die hochgestellten Indizes sollten nicht mit Potenzen oder der Ableitung verwechselt werden.

Basierend auf einem Artikel in:

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