Nicht-fortsetzbare Lösung

In der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen erhält man aus dem Satz von Peano und dem Satz von Picard-Lindelöf die Existenz einer lokalen Lösung eines gegebenen Anfangswertproblems. Man ist vor allem daran interessiert, ob man diese Lösung immer weiter fortsetzen kann, bis man zu einer nicht-fortsetzbaren Lösung (gelegentlich auch maximale Lösung genannt) gelangt. In einem zweiten Schritt ist man an dem Grund für die Nicht-Fortsetzbarkeit interessiert. Dies wird durch den Satz vom maximalen Existenzintervall geklärt.

Typischerweise werden die Ergebnisse in folgender Reihenfolge angewandt:

Im Folgenden sei stets {\mathbb  {K}}\in \{{\mathbb  {R}},{\mathbb  {C}}\}.

Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung

Sei G\subset {\mathbb  {R}}\times {\mathbb  {K}}^{n} und {\displaystyle F:G\rightarrow \mathbb {K} ^{n}} stetig. Weiter sei {\displaystyle y\in C([a,b);\mathbb {K} ^{n})\cap C^{1}((a,b);\mathbb {K} ^{n})} eine Lösung von

{\displaystyle \ y'=F(x,y)}

auf (a,b). Dann gibt es ein {\displaystyle x^{+}\in [b,\infty )} und eine Lösung u obiger Differentialgleichung auf {\displaystyle (a,x^{+})} mit den Eigenschaften:

Dieser Satz wird bewiesen, indem man eine partielle Ordnung auf der Menge aller Lösungen derart einführt, dass maximale Elemente stets nicht-fortsetzbare Lösungen sind. Deren Existenz wird mit dem Lemma von Kuratowski-Zorn bewiesen. Details sind im Beweisarchiv zu finden. Auf Grund dieses Beweises wird die nicht-fortsetzbare Lösung gelegentlich auch als maximale Lösung bezeichnet. Man verwechsle dies aber nicht mit dem Begriff der maximalen Lösung eines nicht-eindeutig lösbaren Anfangswertproblems {\displaystyle y'=F(x,y),y(a)=y_{0}} (für stetiges F).

Der Satz vom maximalen Existenzintervall

Hat man eine nicht-fortsetzbare Lösung vorliegen, möchte man wissen, was am Rand ihres Definitionsbereichs passiert. Das Ausschließen dieses Phänomens würde dann nämlich Globalität dieser Lösung nach sich ziehen.

Formulierung

Sei {\displaystyle D\subset \mathbb {K} ^{n}} und {\displaystyle F:[a,b)\times D\rightarrow \mathbb {K} ^{n}} stetig; dabei sei explizit b = \infty zugelassen. Betrachte die Differentialgleichung

{\displaystyle y'=F(x,y)\ .}

Dann gilt für jede nicht-fortsetzbare Lösung {\displaystyle y:[a,x^{+})\rightarrow D}

Hierin sei {\displaystyle {\rm {dist}}(z,\emptyset ):=\infty } vereinbart.

Variante für lokal Lipschitz-stetige Differentialgleichung

Seien G\subset {\mathbb  {R}}\times {\mathbb  {K}}^{n}, {\displaystyle F:G\rightarrow \mathbb {K} ^{n}} stetig sowie lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen und {\displaystyle y:(x^{-},x^{+})\rightarrow \mathbb {K} ^{n}} eine nicht-fortsetzbare Lösung von {\displaystyle \ y'=F(x,y)}. Dann gilt

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 18.06. 2020