Gronwallsche Ungleichung
Die gronwallsche Ungleichung ist eine Ungleichung, die es erlaubt, aus der impliziten Information einer Integralungleichung explizite Schranken herzuleiten. Des Weiteren ist sie ein wichtiges Hilfsmittel zum Beweis von Existenz- und Einschließungssätzen für Lösungen von Differential- und Integralgleichungen. Sie ist nach Thomas Hakon Grönwall benannt, der sie im Jahr 1919 bewies und in einer wissenschaftlichen Veröffentlichung beschrieb.
Formulierung
Gegeben seien ein Intervall sowie stetige Funktionen und . Weiter gelte die Integralungleichung
für alle . Dann gilt die gronwallsche Ungleichung
für alle .
Man beachte, dass die Funktion in der vorausgesetzten Ungleichung noch auf beiden Seiten vorkommt, in der Schlussfolgerung aber nur noch auf der linken Seite, das heißt, man erhält eine echte Abschätzung für .
Spezialfall
Ist monoton steigend so vereinfacht sich die Abschätzung zu
Insbesondere im Fall konstanter Funktionen und lautet die gronwallsche Ungleichung
Anwendungen
Eindeutigkeitssatz für Anfangswertprobleme
Es sei , , und stetig sowie lokal Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten Variablen. Dann besitzt das Anfangswertproblem höchstens eine Lösung .
Linear beschränkte Differentialgleichungen
Seien , , , und stetig. Weiter gebe es Funktionen derart, dass
für alle . Dann ist jede Lösung von
auf beschränkt.
Beweis
Es gilt
Die gronwallsche Ungleichung impliziert
und daraus ergibt sich folgende Abschätzung gegen eine Konstante:
Literatur
- Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. de Gruyter Lehrbücher, Berlin / New York 1995, ISBN 3-11-014582-0.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 18.06. 2020