Zweiseitige Laplace-Transformation
In der Mathematik bezeichnet man mit der zweiseitigen Laplace-Transformation eine Integraltransformation, die nahe verwandt mit der gewöhnlichen, zur Unterscheidung manchmal auch einseitig genannten, Laplace-Transformation ist.
Definition
Für eine reell- oder komplexwertige Funktion f(t) einer reellen Variable t ist die zweiseitige Laplace-Transformation für alle reellen Zahlen s durch das Integral
definiert.
Der Unterschied zur gewöhnlichen Laplace-Transformation ist die Integration
von
bis
statt über
.
In der Systemtheorie
spielt die zweiseitige Laplace-Transformation, im Gegensatz zur gewöhnlichen
einseitigen Laplace-Transformation, nur eine untergeordnete Rolle. Der Grund
liegt darin, dass sich in der Physik und Technik ausschließlich auftretende kausale Systeme mit der
einseitigen Laplace-Transformation beschreiben lassen. Bei der theoretischen
Analyse von nichtkausalen Systemen, dies sind Systeme, die eine Wirkung vor der
auslösenden Ursache zeigen, ist die zweiseitige Laplace-Transformation zu
verwenden, welche, in Abhängigkeit von der Funktion ,
für
schlechtes Konvergenzverhalten aufweist. Für kausale Systeme ist das Ergebnis
der zweiseitigen Laplace-Transformation identisch zu der gewöhnlichen
einseitigen Laplace-Transformation. Die zweiseitige Laplace-Transformation tritt
außerdem in der Wahrscheinlichkeitstheorie
bei momenterzeugenden
Funktionen auf.
Zusammenhang
Mit der Heaviside-Funktion
lässt sich die zweiseitige mit der einseitigen Laplace-Transformation
in folgenden Zusammenhang setzen:
Dazu gleichwertig besteht zwischen den beiden Transformationen folgender Zusammenhang:
Mit der Mellin-Transformation
besteht folgender Zusammenhang:
und der inversen Beziehung:
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 17.10. 2020