Zweiseitige Laplace-Transformation

In der Mathematik bezeichnet man mit der zweiseitigen Laplace-Transformation eine Integraltransformation, die nahe verwandt mit der gewöhnlichen, zur Unterscheidung manchmal auch einseitig genannten, Laplace-Transformation ist.

Definition

Für eine reell- oder komplexwertige Funktion f(t) einer reellen Variable t ist die zweiseitige Laplace-Transformation für alle reellen Zahlen s durch das Integral

\mathcal{B} \left\{f(t)\right\} = F(s) = 
\int_{-\infty}^{\infty}  e^{-st} f(t) dt

definiert.

Der Unterschied zur gewöhnlichen Laplace-Transformation ist die Integration von -\infty bis  \infty statt über (0,\infty ).

In der Systemtheorie spielt die zweiseitige Laplace-Transformation, im Gegensatz zur gewöhnlichen einseitigen Laplace-Transformation, nur eine untergeordnete Rolle. Der Grund liegt darin, dass sich in der Physik und Technik ausschließlich auftretende kausale Systeme mit der einseitigen Laplace-Transformation beschreiben lassen. Bei der theoretischen Analyse von nichtkausalen Systemen, dies sind Systeme, die eine Wirkung vor der auslösenden Ursache zeigen, ist die zweiseitige Laplace-Transformation zu verwenden, welche, in Abhängigkeit von der Funktion f(t), für t \to -\infty schlechtes Konvergenzverhalten aufweist. Für kausale Systeme ist das Ergebnis der zweiseitigen Laplace-Transformation identisch zu der gewöhnlichen einseitigen Laplace-Transformation. Die zweiseitige Laplace-Transformation tritt außerdem in der Wahrscheinlichkeitstheorie bei momenterzeugenden Funktionen auf.

Zusammenhang

Mit der Heaviside-Funktion \epsilon(t) lässt sich die zweiseitige mit der einseitigen Laplace-Transformation \mathcal{L}\left\{ \cdot \right\} in folgenden Zusammenhang setzen:

\mathcal{L}\left\{f(t)\right\} = \mathcal{B}\left\{f(t) \epsilon(t)\right\}

Dazu gleichwertig besteht zwischen den beiden Transformationen folgender Zusammenhang:

\left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{L} f(t)\right\}(s) + \left\{\mathcal{L} f(-t)\right\}(-s)

Mit der Mellin-Transformation \mathcal{M}\left\{ \cdot \right\} besteht folgender Zusammenhang:

\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-t})\right\}(s)

und der inversen Beziehung:

 \left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln t) \right\}(s)
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 17.10. 2020