Satz von Perron-Frobenius

Der Satz von Perron-Frobenius befasst sich mit der Existenz eines positiven Eigenvektors zu einem positiven, betragsgrößten Eigenwert von nichtnegativen Matrizen. Die Aussagen haben eine wichtige Bedeutung zum Beispiel für die Potenzmethode und Markow-Ketten.

Der Satz wurde zunächst von Oskar Perron für den einfacheren Fall positiver Matrizen gezeigt und dann von Ferdinand Georg Frobenius verallgemeinert.

Die Begriffe positiv und nicht-negativ sind dabei elementweise zu verstehen:

$A={\begin{pmatrix}a_{{11}}&\ldots &a_{{1n}}\\\vdots &&\vdots \\a_{{n1}}&\ldots &a_{{nn}}\end{pmatrix}}>0\iff a_{{ij}}>0,\ i,j=1,\ldots ,n.$

Dadurch wird auch eine Halbordnung unter Matrizen eingeführt, man schreibt $A\leq B$ , wenn $B-A\geq 0$ gilt.

Positive Matrizen

Für positive Matrizen A>0 sagt der Satz aus, dass der Spektralradius $\varrho (A)$ von gleichzeitig ein positiver, einfacher Eigenwert von ist,

$\lambda _{1}=\varrho (A)>0,$

zu dem ein ebenfalls positiver Eigenvektor x>0 existiert, $Ax=\varrho (A)x.$ Außerdem ist $\lambda_1$ größer als die Beträge aller anderen Eigenwerte der Matrix,

$\lambda _{1}>|\lambda _{j}|,\ j=2,\ldots ,n.$

Weiterhin ist der Spektralradius eine monotone Abbildung von positiven Matrizen,

$0<A<B\ \Rightarrow \ 0<\varrho (A)<\varrho (B).$

Allgemeiner gilt der Satz auch für primitive Matrizen.

Nichtnegative Matrizen

Wenn nur noch $A\geq 0$ gilt, so müssen noch zusätzliche Forderungen an die Matrix gestellt werden:

Für eine irreduzible, nichtnegative Matrix $A\geq 0$ ist der Spektralradius $\varrho (A)$ ein positiver, einfacher Eigenwert der Matrix und es gibt dazu einen positiven Eigenvektor x>0 mit $Ax=\varrho (A)x.$ Der Spektralradius hängt monoton von ab, $0\leq A\leq B\Rightarrow \varrho (A)\leq \varrho (B)$ .

Allerdings schließt dieser Satz nicht aus, dass verschiedene Eigenwerte mit dem Betrag $|\lambda |=\varrho (A)$ existieren können. Falls allerdings primitiv ist, das heißt eine Potenz $A^{m}$ für ein $m\in\N$ ist positiv, dann gibt es nur einen Eigenwert $\lambda$ von mit $|\lambda |=\varrho (A)$ .

Beispiel

Man betrachte die nichtnegativen Matrizen

$A={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},\ C={\begin{pmatrix}0&3&0\\0&2&1\\1&0&2\end{pmatrix}}.$

Die Matrix hat den doppelten Eigenwert $1=\varrho (A)$ , da sie reduzibel ist und den Eigenwert , da der Block $A_{MM}$ zyklisch ist. Auch bei der Matrix ist $\varrho (B)=1$ ein Eigenwert, es gibt aber noch zwei weitere komplexe Eigenwerte mit gleichem Betrag, da auch zyklisch ist. Erst bei ist $\lambda _{1}=3=\varrho (C)$ größer als der Betrag eins der anderen Eigenwerte ${\frac 12}(1\pm i{\sqrt {3}})$ . Und zum größten Eigenwert 3 gehört der positive Eigenvektor $(1,1,1)^{T}$ .

Anwendungen

Die Bedeutung der Sätze beruht darauf, dass man die wesentlichen Voraussetzungen Positivität bzw. Nichtnegativität direkt prüfen kann und ihre Aussagen wichtig sind für die Konvergenz der Potenzmethode und die Konvergenz gegen die stationäre Verteilung bei Markow-Ketten.

Für die Konvergenz ist dabei insbesondere die Trennung der Eigenwert-Beträge $\varrho (A)>|\lambda |$ für $\lambda \not =\varrho (A)$ wichtig, welche nur bei primitiven (und somit insbesondere bei positiven) Matrizen uneingeschränkt gilt. Deshalb wird im PageRank-Algorithmus von Google mit dem Dämpfungsfaktor d>0 statt der reinen Link-Matrix $T\geq 0$ eine positive Matrix benutzt.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de