Satz von Gelfand-Mazur

Der Satz von Gelfand-Mazur (nach Israel Gelfand und Stanisław Mazur) ist einer der Ausgangspunkte der Theorie der Banachalgebren. Er besagt, dass $\mathbb {C}$ die einzige $\mathbb {C}$ -Banachalgebra ist, die ein Schiefkörper ist.

Lemma über das Spektrum

Sei eine $\mathbb {C}$ -Banachalgebra mit Einselement . Dann gibt es zu jedem $a\in A$ ein $\lambda\in {\mathbb C}$ , so dass $a-\lambda 1$ nicht invertierbar ist.

Man nennt die Menge aller $\lambda \in {\mathbb C}$ , für die $a-\lambda 1$ nicht invertierbar ist, auch das Spektrum von . Damit lässt sich diese Aussage prägnanter so formulieren, dass das Spektrum eines Elementes einer $\mathbb {C}$ -Banachalgebra mit Einselement nicht leer ist.

Beweis

Der Beweis besteht aus einem Zusammenspiel von Funktionalanalysis (Satz von Hahn-Banach) und Funktionentheorie (Satz von Liouville):

Wir nehmen an, $a-\lambda 1$ sei für jedes $\lambda \in {\mathbb C}$ invertierbar. Dann gilt für voneinander verschiedene $\lambda,\mu \in {\mathbb C}$

$(a-\lambda 1)^{-1}(\lambda-\mu)(a-\mu 1)^{-1} = (a-\lambda 1)^{-1}((a-\mu 1)-(a-\lambda 1))(a-\mu 1)^{-1} = (a-\lambda 1)^{-1} - (a-\mu 1)^{-1}$

Man wende nun ein beliebiges $f\in A'$ an und teile obige Gleichung durch $\lambda-\mu$ >. Es folgt

$\frac{f((a-\lambda 1)^{-1}) - f((a-\mu 1)^{-1})}{\lambda-\mu} = f((a-\lambda 1)^{-1}(a-\mu 1)^{-1})$ .

Die rechte Seite existiert aus Stetigkeitsgründen für $\mu\rightarrow \lambda$ , denn die algebraischen Operationen inklusive Inversion in sind stetig und ist stetig. Daher ist die Funktion $\lambda\mapsto f((a-\lambda 1)^{-1})$ holomorph auf ganz $\mathbb {C}$ . Sie verschwindet im Unendlichen, denn $\lim_{|\lambda|\rightarrow\infty} \|(a-\lambda 1)^{-1}\| = 0$ und ist stetig. Daher ist diese Funktion beschränkt und nach dem Satz von Liouville konstant, sie muss also auf ganz $\mathbb {C}$ gleich $0$ sein. Da $f\in A'$ beliebig war, folgt aus dem Satz von Hahn-Banach, dass $(a-\lambda 1)^{-1}=0$ , aber das kann für ein invertierbares Element nicht sein. Dieser Widerspruch beendet den Beweis.

Satz von Gelfand-Mazur

Ist die $\mathbb {C}$ -Banachalgebra ein Schiefkörper, so ist $A \cong {\mathbb C}$ .

Ist nämlich $a\in A$ , so gibt es nach obigem Lemma ein $\lambda\in{\mathbb C}$ , so dass $a-\lambda 1$ nicht invertierbar ist. Da $0$ das einzige nicht-invertierbare Element in einem Schiefkörper ist, muss $a=\lambda 1$ sein. Also ist jedes Element von ein ${{\mathbb C}}$ -Vielfaches der Eins, und es folgt die Behauptung.

Siehe auch

Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de