Maximumsnorm

Die Maximumsnorm, Maximumnorm oder Tschebyschew-Norm ist eine spezielle Norm für Funktionen beziehungsweise für Vektoren oder Matrizen. Sie ist ein Spezialfall der Supremumsnorm.

Definition

Sei ein kompakter Raum und C(B) die Menge aller auf reell- oder komplexwertigen stetigen Funktionen. Dann heißt die Funktion $\|\cdot \|_{\max }\colon C(B)\to \mathbb{R}$ , die durch

$\|f\|_{\max }:=\max _{{t\in B}}|f(t)|$

definiert ist, Maximumsnorm. Die Funktion wird auch mit $\|\cdot \|_{\infty }$ bezeichnet und erfüllt die drei charakteristischen Eigenschaften einer Norm. Wohldefiniert ist die Maximumsnorm aufgrund des Satzes vom Minimum und Maximum, der die Existenz des Maximums sichert.

Eigenschaften

Die Menge der stetigen Funktionen auf einer kompakten Menge ist mit der Maximumsnorm ein vollständiger normierter Raum.

Zusammen mit dem Produkt ist der normierte Raum $(C(B),\|\cdot \|)$ eine kommutative Banachalgebra.

Spezialfälle

Ein wichtiger Spezialfall ist die Maximumsnorm für Vektoren $x\in \mathbb {R} ^{n}$ . Wählt man $B=\{1,\ldots ,n\}$ und stattet die Menge mit der >diskreten Topologie aus, dann ist ein kompakter Raum und jede reell- oder komplexwertige Funktion auf ist stetig. Somit entspricht der Raum $C(\{1,\ldots ,n\})$ dem n-dimensionalen Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$ und die Maximumsnorm auf Vektoren ist ein Spezialfall der Maximumsnorm für stetige Funktionen auf kompakten Mengen. Sieht man eine Matrix $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ als entsprechend langen Vektor im $\mathbb{R} ^{{m\cdot n}}$ an, ist es auch möglich die Maximumsnorm auf Matrizen zu definieren.

Als Vektornorm

Für einen Vektor $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb{R} ^{n}$ nennt man

$\|x\|_{{\max }}:=\max(|x_{1}|,\ldots ,|x_{n}|)$

die Maximumsnorm von . Die Maximumsnorm kann auch als Grenzfall der p-Normen $\textstyle \|x\|_{p}:=(\sum _{{i=1}}^{n}|x_{i}|^{p})^{{1/p}}$ aufgefasst werden. Lässt man gegen unendlich laufen, so erhält man aus der p-Norm die Maximumsnorm. Aus diesem Grund wird die Maximumsnorm für Vektoren auch als ∞-Norm (Unendlich-Norm) bezeichnet.

Als Matrixnorm

Analog zur Vektornorm hat die Maximumsnorm für Matrizen $A=(a_{{ij}})_{{i,j}}\in \mathbb{R} ^{{m\times n}}$ die Darstellung

$\|A\|_{\max }:=\max _{{{i=1,\ldots ,m} \atop {j=1,\ldots ,n}}}|a_{{ij}}|\,.$

Diese Norm ist jedoch nicht submultiplikativ, daher wird im Zusammenhang mit Matrizen statt dieser Norm oftmals die submultiplikative Gesamtnorm $\textstyle \|A\|_{G}:={\sqrt {mn}}\cdot \max _{{{i=1,\ldots ,m} \atop {j=1,\ldots ,n}}}|a_{{ij}}|$ verwendet.

Beispiele

Spaltenvektor

Für den Spaltenvektor $(-5,7,4,-9)^{T}$ gilt

$\left\|{\begin{pmatrix}-5\\7\\4\\-9\end{pmatrix}}\right\|_{\max }=\max(|-5|,|7|,|4|,|-9|)=9\,.$

Die Maximumsnorm von $(-5,7,4,-9)^{T}$ ist also 9.

Funktion

Für die gebrochenrationale Funktion $f\colon [-2,2]\to \mathbb{R}$ definiert durch $f(x)=1000(x^{2}-6)/(x^{3}-6000)$ gilt

$\|f\|_{\max }=\max _{{x\in [-2,2]}}\left(1000\left|{\frac {x^{2}-6}{x^{3}-6000}}\right|\right)=1\,.$

Dies kann durch zweifache Ableitung und Bestimmung der Extremwerte gezeigt werden. Die Maximumsnorm der Funktion auf dem Intervall [-2,2] ist also 1.

Supremumsnorm

→ Hauptartikel: Supremumsnorm

Im Gegensatz zur Maximumsnorm wird die Supremumsnorm $\textstyle \|f\|_{\sup }:=\sup _{{t\in X}}|f(t)|$ nicht für stetige, sondern für beschränkte Funktionen definiert. In diesem Fall ist es nicht notwendig, dass kompakt ist; kann eine beliebige Menge sein. Da stetige Funktionen auf kompakten Räumen beschränkt sind, ist die Maximumsnorm ein Spezialfall der Supremumsnorm.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de