π-System

Ein π-System, auch durchschnittstabiles Mengensystem oder kurz schnittstabiles System genannt, ist ein spezielles Mengensystem, das im axiomatischen Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Maßtheorie verwendet werden kann.

Definition

Gegeben sei ein Mengensystem {\mathcal {M}}, also eine Teilmenge der Potenzmenge. {\mathcal {M}} heißt ein π-System, durchschnittstabiles Mengensystem oder schnittstabiles System, wenn für beliebige zwei Mengen  A,B aus dem Mengensystem {\mathcal {M}} gilt, dass A\cap B\in {\mathcal  M} ist.

Beispiele

Für eine beliebige Grundmenge  \Omega sei das Mengensystem

{\mathcal  M}:=\{A\subset \Omega \colon |A|<\infty \}

aller endlichen Teilmengen gegeben. Für zwei beliebige A,B\in {\mathcal  M} ist nun |A\cap B|\leq \min(|A|,|B|), der Schnitt endlicher Mengen ist immer endlich. Also ist auch A\cap B\in {\mathcal  M}, es handelt sich somit um ein durchschnittsstabiles System.

Eigenschaften

Verwendung

Durchschnittsstabile Mengensysteme treten an einigen Stellen in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik auf. So ist die Durchschnittsstabilität eine wichtige Voraussetzung an den Erzeuger einer σ-Algebra, um nur auf diesem Erzeuger die stochastische Unabhängigkeit der Zufallsvariablen überprüfen zu müssen.

Wichtigste Anwendung ist der sogenannte dynkinsche π-λ Satz. Ist {\mathcal {M}} ein π-System, dann stimmen die von {\mathcal {M}} erzeugte σ-Algebra und das erzeugte Dynkin-System überein, es gilt also

\sigma ({\mathcal  M})=\delta ({\mathcal  M}).

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 15.09. 2017