Radon-Nikodym-Eigenschaft

Die Radon-Nikodym-Eigenschaft, benannt nach Johann Radon und Otton Marcin Nikodým, ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Eigenschaft von Banachräumen bzw. vektoriellen Maßen. Ein Banachraum hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft, oft mit RNP (nach der englischen Bezeichnung "Radon-Nikodym property") abgekürzt, wenn für vektorielle Maße mit Werten in eine zum klassischen Satz von Radon-Nikodym analoge Aussage gilt.

Definitionen

Es seien ein Banachraum, $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ ein messbarer Raum und $\mu \colon {\mathcal {A}}\rightarrow X$ ein vektorielles Maß. Man sagt, $\mu$ habe die Radon-Nikodym-Eigenschaft, falls folgendes gilt:

$\mu$ ist von beschränkter Variation.
Ist $\lambda \colon {\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {R}$ ein endliches, positives Maß mit $\mu \ll \lambda$ , so gibt es eine bzgl. $\lambda$ Bochner-integrierbare Funktion $f\colon \Omega \rightarrow X$ mit $\mu(A) = \int_Af\mathrm{d}\lambda$ für alle $A\in {\mathcal {A}}$ .

Die Schreibweise $\mu \ll \lambda$ bedeutet wie üblich, dass $\mu$ absolut stetig bzgl. $\lambda$ ist, das heißt, dass für alle $A\in {\mathcal {A}}$ aus $\lambda(A)=0$ bereits $\mu (A)=0$ folgt. In obiger Definition erfüllen die beiden Maße also eine vektorwertige Variante des klassischen Satzes von Radon-Nikodym.

Schließlich definiert man, ein Banachraum habe die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn jedes vektorielle Maß von beschränkter Variation mit Werten in die Radon-Nikodym-Eigenschaft hat.

Beispiele

Der Banachraum $\mathbb {R}$ hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft. Das ist genau die Aussage des Satzes von Radon-Nikodym.
Jeder reflexive Raum hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft. Damit haben die Folgenräume $\ell ^{p}$ und die L^p-Räume für $1<p<\infty$ sowie alle Hilberträume die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
Satz von Dunford-Pettis: Jeder separable Dualraum hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft. Beispiele hierfür sind $\ell ^{1}$ oder der Raum $\mathcal{N}(\ell^2)$ der nuklearen Operatoren auf dem Hilbertraum $\ell ^{2}$ . Allgemeiner hat jeder Dualraum, der Unterraum eines schwach kompakt erzeugten Banachraums ist, die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
Ist eine beliebige Indexmenge, so hat $\ell^1(I)$ die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
Hat der Banachraum eine äquivalente sehr glatte Norm, so hat dessen Dualraum die Radon-Nikodym-Eigenschaft. Insbesondere haben lokal schwach gleichmäßig konvexe Dualräume die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
Der Raum der Nullfolgen $c_{0}$ , der Raum der beschränkten Folgen $\ell ^{\infty }$ und die Funktionenräume , $L^{1}([0,1])$ , $L^\infty([0,1])$ haben nicht die Radon-Nikodym-Eigenschaft.

Eigenschaften

Abgeschlossene Unterräume von Räumen mit Radon-Nikodym-Eigenschaft haben wieder die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
Die Radon-Nikodym-Eigenschaft vererbt sich nicht auf Quotientenräume. Der Raum $c_{0}$ ist Quotient von $\ell ^{1}$ , denn jeder separable Banachraum ist Quotient von $\ell ^{1}$ , und dieser hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft, jener aber nicht.
Der Satz von Davis-Huff-Maynard-Phelps ist eine geometrische Charakterisierung der Radon-Nikodym-Eigenschaft. Ein Banachraum hat genau dann die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn es zu jeder beschränkten Menge $B\subset X$ und zu jedem $\varepsilon >0$ ein $x\in B$ gibt, das nicht in der abgeschlossenen konvexen Hülle von $B\setminus K_\varepsilon(x)$ liegt. Dabei bezeichnet $K_\varepsilon(x)$ die $\varepsilon$ -Kugel um .
Der Satz von Lewis-Stegall charakterisiert Räume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft mittels Operatoren: Ein Banachraum hat genau die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn für jeden Maßraum $(\Omega,\mathcal{A},\lambda)$ mit positivem, endlichen Maß $\lambda$ jeder stetige, lineare Operator $L^1(\Omega,\mathcal{A},\lambda)\rightarrow X$ über $\ell ^{1}$ faktorisiert. Letzteres bedeutet, dass es zu jedem stetigen, linearen Operator $T\colon L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\lambda )\rightarrow X$ stetige, lineare Operatoren $R\colon L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\lambda )\rightarrow \ell ^{1}$ und $S\colon \ell ^{1}\rightarrow X$ gibt mit $T=S\circ R$ .

Die Krein-Milman-Eigenschaft

Motiviert durch den Satz von Krein-Milman sagt man, ein Banachraum habe die Krein-Milman-Eigenschaft, wenn jede abgeschlossene, beschränkte, konvexe Menge gleich dem Abschluss der konvexen Hülle ihrer Extremalpunkte ist. Beachte dass hier keine Kompaktheitsforderung gestellt wird. Dies wird nach der englischen Bezeichnung "Krein-Milman property" oft als KMP abgekürzt.

Nach einem Satz von Lindenstrauss hat jeder Raum mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft auch die Krein-Milman-Eigenschaft. Die Umkehrung dieser Aussage ist ein offenes mathematisches Problem, sie ist allerdings für Dualräume bekannt, genauer sind folgende Aussagen über einen Banachraum äquivalent:

(der Dualraum von ) hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
hat die Krein-Milman-Eigenschaft.
Ist $Y\subset X$ ein separabler Unterraum von , so ist separabel.

Basierend auf einem Artikel in:

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