Birkhoff-Integral

Das Birkhoff-Integral ist ein Integralbegriff, der 1935 von Garrett Birkhoff zur Integration von banachraumwertige Funktionen eingeführt wurde. Während das Bochner-Integral die direkte Verallgemeinerung des Lebesgueschen Integralbegriffs auf banachraumwertige Funktionen ist, stellt das Birkhoff-Integral in zweifacher Hinsicht eine Verallgemeinerung des Riemann-Integrals dar. Zum einen werden nun Funktionen betrachtet, welche über einem beliebigen $\textstyle \sigma$ -endlichen Maßraum definiert sind. Des Weiteren werden nicht nur endliche Summen (die sog. Riemann-Summen) betrachtet, sondern unbedingt konvergente Reihen. Während jede Riemann-integrierbare Funktion auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ Lebesgue-integrierbar ist, gilt andererseits, dass jede Bochner-integrierbare Funktion auf einem $\textstyle \sigma$ -endlichen Maßraum Birkhoff-integrierbar sein muss.

Definition

Es seien $\textstyle (\Omega ,{\mathcal A},\mu )$ ein $\textstyle \sigma$ -endlicher Maßraum und $\textstyle (B,\|\cdot \|)$ ein Banachraum und $\textstyle f\colon \Omega \to B$ eine Funktion. Als Vorbereitung auf die eigentliche Definition werden hier zunächst drei grundlegende Abkürzungen eingeführt:

Für eine Menge $\textstyle \emptyset \neq M\subseteq B$ wird der Durchmesser definiert durch $\textstyle {\mathrm {diam}}(M):=\sup _{{x,y\in M}}\|x-y\|$ .
Für eine Menge $\textstyle \emptyset \neq M\subseteq B$ bezeichnet $\textstyle {\mathrm {konv}}(M)$ die konvexe Hülle von $\textstyle M$ .

Eine Teilmenge der -Algebra heißt abzählbare -Partition von , wenn
- $\textstyle \Gamma$ eine abzählbare Partition von $\textstyle \Omega$ ist und
- jede Menge in $\textstyle \Gamma$ endliches Maß hat, also gilt $\textstyle \forall M\in \Gamma :\mu (M)<\infty$ .

Mit Hilfe dieser Begrifflichkeiten kann nun das Birkhoff-Integral sozusagen als Verallgemeinerung des Riemann-Integrals definiert werden. Zuerst wird der Begriff der Riemann-Summen über einer Partition des Definitionsbereichs verallgemeinert:

$\textstyle f$ heißt unbedingt summierbar unter der abzählbaren $\textstyle \mu$ -Partition $\textstyle \Gamma$ von $\textstyle \Omega$ , wenn gilt: $\textstyle \forall (b_{M})_{M\in \Gamma }\in \prod _{M\in \Gamma }f(M)\colon \sum _{M\in \Gamma }\mu (M)b_{M}$ ist unbedingt konvergent.

Jede formal mögliche abzählbare Riemann-Summe über der $\textstyle \mu$ -Partition muss also unbedingt konvergent sein. In der nächsten Definition werden dann alle Riemann-Summen-Werte dieser $\textstyle \mu$ -Partition gesammelt:

$\sum _{{M\in \Gamma }}\mu (M)f(M):={\bigg \{}\sum _{{M\in \Gamma }}\mu (M)b_{{M}}\,{\Big |}\,\forall \,M\in \Gamma :b_{{M}}\in f(M){\bigg \}}$ .

Man nennt $\textstyle f$ (unbedingt) Birkhoff-integrierbar, wenn es eine Folge $\textstyle (\Gamma _{i})_{{i\in {\mathbb {N}}}}$ von abzählbaren $\textstyle \mu$ -Partitionen gibt mit $\textstyle \forall \,i\in {\mathbb {N}}:f$ ist unbedingt summierbar unter $\textstyle \Gamma _{{i}}$ und zudem noch gilt

$\displaystyle \lim _{{i\to \infty }}{\mathrm {diam}}{\bigg (}\overline {{\mathrm {konv}}{\Big (}\sum _{{M\in \Gamma _{{i}}}}\mu (M)f(M){\Big )}}{\bigg )}=0$ .

Die Durchmesser der zur Partitionsfolge gehörigen Mengen der Riemann-Summen-Werte (zuvor konvex- und dann topologisch abgeschlossen) müssen also gegen Null konvergieren. Dann gibt es nämlich genau ein Element $\textstyle b$ im Durchschnitt

$\bigcap _{{i=1}}^{{\infty }}\overline {{{\rm {konv}}}{\Big (}\sum _{{M\in \Gamma _{{i}}}}\mu (M)f(M){\Big )}}$ .

Dieses ist zudem unabhängig von der konkreten Wahl der Folge $\textstyle (\Gamma _{i})_{{i\in {\mathbb {N}}}}$ und als das (unbedingte) Birkhoff-Integral definiert man

$\int _{\Omega }f\,{{\rm {d}}}\mu :=b$ .

Vergleich mit anderen Integralbegriffen

Jede auf einem $\textstyle \sigma$ -endlichen Maßraum definierte Bochner-integrierbare Funktion ist auch Birkhoff-integrierbar und die entsprechenden Integralwerte stimmen dann überein. Es gibt jedoch Birkhoff-integrierbare Funktionen, die nicht Bochner-integrierbar sind.
Wird die Definition des Riemann-Integrals direkt mittels Riemann-Summen auf banachraumwertige Funktionen verallgemeinert, so ist im Allgemeinen nicht mehr jede Riemann-integrierbare Funktion auch Bochner-integrierbar, aber dafür Birkhoff-integrierbar.
Ein Beispiel für eine nicht Bochner-integrierbare aber Birkhoff-integrierbare (sogar Riemann-integrierbare) Funktion ist:

Sei $\textstyle \;\ell ^{2}\left([0,1]\right):=\left\{(x_{i})_{{i\in [0,1]}}\in \mathbb{R} ^{{[0,1]}}\;{\Big |}\;\sum _{{i\in [0,1]}}x_{i}^{2}<\infty \right\}\,$ versehen mit der Norm $\textstyle \|(x_{i})_{{i\in [0,1]}}\|:={\sqrt {\left(\sum _{{i\in [0,1]}}x_{i}^{2}\right)}}$ , siehe allgemeiner $\textstyle \ell ^{p}$ -Raum und $\textstyle f\colon [0,1]\to \ell ^{2}\left([0,1]\right);\,x\mapsto \chi _{\{x\}}$ , wobei das Bild von $\textstyle x$ unter $\textstyle f$ gerade die Charakteristische Funktion von $\textstyle x$ ist.

$\textstyle f$ ist nicht Bochner-integrierbar, denn sonst wäre $\textstyle f$ auch $\textstyle \mu$ -messbar. Mit Hilfe des Messbarkeitssatz von Pettis folgt aber, dass $\textstyle f$ nicht $\textstyle \mu$ -messbar ist, denn $\textstyle f\left([0,1]\right)$ ist nicht $\textstyle \mu$ -fast überall separabel. Das Riemann-Integral und damit auch das Birkhoff-Integral von $\textstyle f$ ist $\textstyle {\mathfrak {0}}\colon [0,1]\to \mathbb {R} ;\,x\mapsto 0$ .

Jede Birkhoff-integrierbare Funktion ist Pettis-integrierbar.

Eigenschaften

Das Birkhoff-Integral ist linear. Für zwei Birkhoff-integrierbare Funktionen $\textstyle f,g\colon \Omega \to B$ und $\alpha ,\beta \in {\mathbb {K}}$ ist auch $\alpha f+\beta g$ Birkhoff-integrierbar und es gilt:

$\int _{{\Omega }}\alpha f+\beta g\,{{\rm {d}}}\mu =\alpha \int _{{\Omega }}f\,{{\rm {d}}}\mu +\beta \int _{{\Omega }}g\,{{\rm {d}}}\mu$ .

Für die Birkhoff-Integrierbarkeit von $\textstyle f\colon \Omega \to B$ gibt es eine relativ neue äquivalente Charakterisierung, siehe M. Potyrala:

ist genau dann Birkhoff-integrierbar mit $\textstyle x=\int _{{\Omega }}f\,{{\rm {d}}}\mu$ wenn gilt

$\forall \,\varepsilon >0\,\exists \,$ eine abzählbare $\textstyle \mu$ -Partition $\textstyle \Gamma :f$ ist unbedingt summierbar unter $\textstyle \Gamma$ und $\textstyle \;\;\sup {\Big \{}\,\|y-x\|\,{\Big |}\,y\in \sum _{{M\in \Gamma }}\mu (M)f(M)\,{\Big \}}<\varepsilon$ .

Es sei $\textstyle D$ ein weiterer Banachraum, $f\colon \Omega \to B$ Birkhoff-integrierbar und $\textstyle T\in L(B,D)$ ein stetiger linearer Operator. Dann ist die Verkettung $\textstyle T\circ f\colon \Omega \to D$ eine Birkhoff-integrierbare Funktion und es gilt:

$T\left(\int _{\Omega }f{\mathrm {d}}\mu \right)=\int _{\Omega }T\circ f{\mathrm {d}}\mu$ .

Literatur

Jürgen Friedrich: Integration banachraumwertiger Funktionen: Bochner- und Birkhoff-Integration. Diplomica Verlag, Hamburg 2013, S. 28–46, ISBN 978-3-8428-4043-0>.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de