Ordnungsvollständigkeit
Ordnungsvollständigkeit ist ein Begriff aus der Algebra, speziell der Körpertheorie, der aber für beliebige geordnete Mengen definiert werden kann. Der Begriff der Ordnungsvollständigkeit erweist sich in der Ordnungstopologie für nicht zu „große“ geordnete Mengen als verwandt mit dem Begriff der Vollständigkeit in metrischen Räumen.
Definition
Eine Ordnung
auf 
heißt ordnungsvollständig, falls eine der folgenden äquivalenten
Bedingungen gilt:
- Jede nichtleere nach unten beschränkte Teilmenge besitzt ein Infimum.
- Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge besitzt ein Supremum. (Die sogenannte Supremumseigenschaft.)
- Jede nichtleere beschränkte Menge besitzt Infimum und Supremum.
Zusammenhang zur metrischen Vollständigkeit
Ist die Ordnungstopologie
auf
metrisierbar,
dann ist die Ordnung 
genau dann ordnungsvollständig, wenn
vollständig
metrisierbar ist, d.h. wenn es eine Metrik auf
gibt, die die Ordnungstopologie erzeugt und
zu einem vollständigen
metrischen Raum macht.
Ordnungsvollständige Körper
Der Begriff der Ordnungsvollständigkeit ist insbesondere in der Theorie der geordneten Körper von Bedeutung. Er ermöglicht die folgende Charakterisierung des Körpers der reellen Zahlen:
- Ein geordneter Körper ist genau dann isomorph zu
,
wenn er ordnungsvollständig ist.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 22.04. 2020