Satz von Euler

Der Satz von Euler, auch als Satz von Euler-Fermat benannt nach Leonhard Euler und Pierre de Fermat, stellt eine Verallgemeinerung des kleinen fermatschen Satzes auf beliebige (nicht notwendigerweise prime) Moduli n\in \mathbb {N} dar.

Aussage

Er lautet:

a^{\varphi(n)} \equiv 1\,(\mathrm{mod}\,n)

unter der Bedingung ggT(a,n) = 1, wobei φ(n) die eulersche φ-Funktion bezeichnet, nämlich die Anzahl der zu n teilerfremden Reste modulo n. Für prime Moduli p gilt φ(p) = p–1, also geht für sie der Satz von Euler in den kleinen Satz von Fermat über.

Anwendungen

Der Satz von Euler dient der Reduktion großer Exponenten modulo n. Aus ihm folgt für ganze Zahlen k, dass a^{x}\equiv a^{{x+k\cdot \varphi (n)}}{\pmod  n}. Praktische Anwendung findet er in dieser Eigenschaft in der computergestützten Kryptographie, beispielsweise im RSA-Verschlüsselungsverfahren.

Beispiel

Was ist die letzte Ziffer im Dezimalsystem von 7222, also welche Dezimalziffer ist 7222 kongruent modulo 10?

Zunächst bemerken wir, dass ggT(7,10) = 1 und dass φ(10) = 4. Also liefert der Satz von Euler

7^{{\,4}}\,\equiv 1\,({\mathrm  {mod}}\,10)

und wir erhalten

7^{{222}}=7^{{\,4\cdot 55+2}}=(7^{{\,4}})^{{55}}\cdot 7^{{2}}\equiv 1^{{55}}\cdot 7^{{2}}({\mathrm  {mod}}\,10)\equiv 9\,({\mathrm  {mod}}\,10).

Allgemein gilt:

a^{b}\equiv a^{{b\,{\mathrm  {mod}}\,\varphi (n)}}\,({\mathrm  {mod}}\,n)\qquad a,b,n\in {\mathbb  {N}}\wedge {\mathrm  {ggT}}(a,n)=1

Beweis des Satzes von Euler

Sei ({\mathbb  {Z}}/n{\mathbb  {Z}})^{\times }=\{r_{1},\dots ,r_{{\varphi (n)}}\} die Menge der multiplikativ modulo n invertierbaren Elemente. Für jedes a mit \operatorname {ggT}(a,n)=1 ist dann x\mapsto ax eine Permutation von ({\mathbb  {Z}}/n{\mathbb  {Z}})^{\times }, denn aus ax\equiv ay\,(\operatorname {mod}\,n) folgt x\equiv y\,(\operatorname {mod}\,n).

Weil die Multiplikation kommutativ ist, folgt

r_{1}\cdots r_{{\varphi (n)}}\equiv (ar_{1})\cdots (ar_{{\varphi (n)}})\equiv r_{1}\cdots r_{{\varphi (n)}}a^{{\varphi (n)}}\,(\operatorname {mod}\,n),

und da die r_{i} invertierbar sind für alle i, gilt

1\equiv a^{{\varphi (n)}}\,(\operatorname {mod}\,n).

Alternativbeweis

Der Satz von Euler ist eine direkte Folgerung aus dem Satz von Lagrange aus der Gruppentheorie: In jeder Gruppe G mit endlicher Ordnung m ist die m-te Potenz jedes Elements das Einselement. Hier ist {\displaystyle G=\{1\leq a\leq n\mid \operatorname {ggT} (a,n)=1\}=(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} also |G|=\varphi (n), wobei die Operation von G die Multiplikation modulo n ist.

Siehe auch

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 16.03. 2020