Van-’t-Hoff-Gleichung

Die Van-’t-Hoff-Gleichung oder van-’t-Hoff’sche Reaktionsisobare (nach Jacobus Henricus van ’t Hoff) beschreibt in der Thermodynamik den Zusammenhang zwischen der Lage des Gleichgewichts einer chemischen Reaktion und der Temperatur (bei konstantem Druck):

{\Bigl (}{\frac {\partial \ln K}{\partial T}}{\Bigr )}_{P}={\frac {\Delta _{R}H_{m}^{\circ }(T)}{RT^{2}}}

wobei

Der Index P steht für den konstanten Druck.

In der ulichschen Näherung geht man von einer – zumindest in einem gewissen Temperaturintervall – konstanten Standardreaktionsenthalpie aus.

Damit ergibt sich:

{\Bigl (}{\frac {\partial \ln K}{\partial T}}{\Bigr )}_{P}={\frac {\Delta _{R}H_{m}^{\circ }}{RT^{2}}}

Dies kann auch geschrieben werden als:

\Leftrightarrow {\biggl (}{\frac {\partial \ln K}{\partial {\frac {1}{T}}}}{\biggr )}_{P}=-\,{\frac {\Delta _{R}H_{m}^{\circ }}{R}}.

Herleitung

Für die Gleichgewichtskonstante K gilt allgemein:

\ln K=-{\frac {\Delta _{R}G_{m}^{\circ }(T)}{RT}}

Deren partielle Ableitung nach der Temperatur bei konstantem Druck ergibt somit:

{\Bigl (}{\frac {\partial \ln K}{\partial T}}{\Bigr )}_{P}=+{\frac {\Delta _{R}G_{m}^{\circ }(T)}{RT^{2}}}-{\frac {{\Bigl (}{\frac {\partial \Delta _{R}G_{m}^{\circ }(T)}{\partial T}}{\Bigr )}_{P}}{RT}}

Die Ableitung der Freie Reaktionsenthalpie nach der Temperatur bei konstantem Druck berechnet sich wie folgt:

{\Bigl (}{\frac {\partial G_{m}^{0}}{\partial T}}{\Bigr )}_{P}=-S_{m}^{0}(T)

\rightarrow {\Bigl (}{\frac {\partial \ln K}{\partial T}}{\Bigr )}_{P}=+{\frac {\Delta _{R}G_{m}^{\circ }(T)}{RT^{2}}}+{\frac {T\Delta _{R}S_{m}^{0}(T)}{RT^{2}}}

Mit der Gibbs-Helmholtz-Gleichung

\Delta _{R}G_{m}^{\circ }(T)=\Delta _{R}H_{m}^{0}(T)-T\Delta _{R}S_{m}^{0}(T)

ergibt sich: [A 2]

{\Bigl (}{\frac {\partial \ln K}{\partial T}}{\Bigr )}_{P}={\frac {\Delta _{R}H_{m}^{0}(T)-T\Delta _{R}S_{m}^{0}(T)+T\Delta _{R}S_{m}^{0}(T)}{RT^{2}}}={\frac {\Delta _{R}H_{m}^{0}(T)}{RT^{2}}}

Siehe auch

Anmerkungen

  1. Alle Standardbedingungen (Druck p_{0}=1\,{\text{bar}} und Aktivität a=1) bis auf die Temperatur T sind erfüllt.
  2. Nur wenn man \Delta _{R}S_{m}^{0} als temperaturunabhängig nähert, ergibt sich auch eine Temperaturunabhängigkeit von \Delta _{R}H_{m}^{0}.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 22.05. 2021