Clausius-Clapeyron-Gleichung

Die Clausius-Clapeyron-Gleichung wurde 1834 von Émile Clapeyron entwickelt und später von Rudolf Clausius aus den Theorien der Thermodynamik abgeleitet. Sie ist eine Spezialform der Clapeyron-Gleichung (Herleitung dort). Über die Clausius-Clapeyron-Gleichung lässt sich der Verlauf der Siedepunktskurve errechnen, d.h. der Phasengrenzlinie eines Phasendiagramms zwischen der flüssigen und der gasförmigen Phase eines Stoffes.

Thermodynamisch korrekte Gleichung

Die thermodynamisch korrekte Version der Gleichung ist

$\frac{\mathrm dp}{\mathrm dT} = \frac{\Delta H_\mathrm{m,v}}{\Delta V_\mathrm{m,v} \cdot T}$

mit

– Dampfdruck
– Temperatur in K
$\Delta H_\mathrm{m,v}$ – molare Verdampfungsenthalpie (Index $_\mathrm{v}$ für Verdampfung bzw. englisch vapor = Dampf) und
$\Delta V_\mathrm{m,v} = V_\mathrm{m(g)} - V_\mathrm{m(fl)}$ – Änderung des molaren Volumens zwischen gasförmiger und flüssiger Phase.

Approximation im Falle eines idealen Gases

Im Regelfall bezeichnet man als Clausius-Clapeyron-Gleichung die näherungsweise gültige Gleichung

$\frac{1}{p} \, \mathrm{d}p = \frac{\Delta H_\mathrm{m,v}}{R \cdot T^2} \, \mathrm{d}T$

mit

$R = 8,314\,462\;\mathrm{J \, mol^{-1} \, K^{-1}}$ – universelle Gaskonstante.

Herleitung:
Da bei den meisten Verwendungszwecken das molare Volumen des Gases deutlich größer ist als das der Flüssigkeit:

$V_\mathrm{m(g)} \gg V_\mathrm{m(fl)},$

wurde gegenüber der thermodynamisch korrekten Gleichung die Volumendifferenz $\Delta V_\mathrm{m,v}$ durch das molare Volumen $V_\mathrm{m(g)}$ des Gases ausgedrückt:

$\Rightarrow \Delta V_\mathrm{m,v} \approx V_\mathrm{m(g)}.$

Außerdem wurde für die gasförmige Phase ein ideales Gas angenommen, für das folgende Zustandsgleichung gilt:

$V_\mathrm{m(g)} = \frac{RT}{p}.$

Integrierte Form

Betrachtet man die Verdampfungsenthalpie eines Stoffes als konstant über einen kleinen Temperaturbereich ( $T_{1}$ bis $T_{2}$ ), so kann die Clausius-Clapeyron-Gleichung über diesen Temperaturbereich integriert werden. Dann gilt:

$\ln \frac{p_2}{p_1} = \frac {\Delta H_\mathrm{m,v}}{R} \cdot \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)$

mit

dem bekannten Sättigungsdampfdruck $p_{1}$ und der Temperatur $T_{1}$ des Ausgangszustands,
dem Druck $p_{2}$ und der Temperatur $T_{2}$ des zu berechnenden Zustands.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de