Schrödinger-Newton-Gleichung
Die Schrödinger-Newton-Gleichung (auch Newton-Schrödinger- oder Schrödinger-Poisson-Gleichung) ist eine nichtlineare Modifikation der Schrödingergleichung unter Berücksichtigung des Newtonschen Gravitationsgesetzes. Dabei ergibt sich eine Selbstwechselwirkung, da die Wellenfunktion massebehaftet angenommen wird. Die Gleichung kann entweder als eine Integro-Differentialgleichung oder als ein Gleichungssystem bestehend aus Schrödinger- und Poissongleichung geschrieben werden.
Die Schrödinger–Newton-Gleichung wurde als erstes von Remo Ruffini und Silvano Bonazzola in Verbindung mit der Eigengravitation von Bosonensternen betrachtet.
Später wurde von Lajos Diósi und Roger Penrose diskutiert, dass die Schrödinger-Newton-Gleichung eine Erklärung für den Kollaps der Wellenfunktion sein kann. Dabei hat Materie Quanteneigenschaften, wohingegen die Gravitation eine klassische Theorie bleibt.
Außerdem wird die Schrödinger-Newton-Gleichung als Hartree-Approximation für die gegenseitige gravitative Anziehung in einem System mit einer großen Anzahl Teilchen verwendet.
Übersicht
Als Gleichungssystem geschrieben ergibt sich die Schrödinger-Newton-Gleichung
aus der linearen Schrödingergleichung, erweitert um ein Gravitationspotential
hier ist
das nicht gravitative Potential; das Gravitationspotential
erfüllt die Poisson-Gleichung
Aufgrund der Kopplung der Wellenfunktion und des Gravitationspotentials und
wegen des Terms
ist das Gleichungssystem nichtlinear.
Die Integro-Differentialform der Gleichung ist
Diese Gleichung ergibt sich aus dem oben angegebenen Gleichungssystem unter der Annahme, dass das Gravitationspotential im Unendlichen verschwindet.
Mathematisch gesehen ist die Schrödinger-Newton-Gleichung eine
Hartree-Gleichung für den Fall .
Die Gleichung hat viele Eigenschaften der linearen Schrödinger-Gleichung.
Insbesondere bleibt die totale Wahrscheinlichkeit sowie die Energie erhalten;
weiterhin ist die Gleichung invariant bezüglich einer Galilei-Transformation.
Lösungen der Schrödinger-Newton-Gleichung wurden bereits analytisch und
numerisch untersucht; die stationäre Gleichung, die sich durch Separation der
Variablen ergibt, hat eine unendliche Menge von Lösungen, von denen lediglich
der stationäre
Grundzustand stabil ist.
Beziehung zur semi-klassischen und Quantengravitation
Die Schrödinger-Newton-Gleichung ergibt sich aus der Annahme, dass die Gravitation sich auch auf fundamentaler Ebene klassisch verhält und dass die Wellenfunktion massebehaftet ist. Effekte der Allgemeinen Relativitätstheorie werden dabei vernachlässigt. Für den Fall, dass die Annahme korrekt ist, ist die Schrödinger-Newton-Gleichung eine fundamentale Gleichung für ein einzelnes Teilchen; eine Verallgemeinerung auf Mehrteilchensysteme wird weiter unten beschrieben. Für den Fall, dass die Annahme nicht korrekt ist, ist die Schrödinger-Newton-Gleichung lediglich eine Näherung für die gravitative Anziehung in einem System mit einer großen Anzahl von Teilchen.
Schrödinger-Newton-Gleichung für Mehrteilchensysteme
Für den Fall, dass die Schrödinger-Newton-Gleichung eine fundamentale Gleichung ist, existiert eine entsprechende Gleichung für Mehrteilchensysteme, die von Diósi analog zur Einteilchengleichung unter der Annahme semi-klassischer Gravitation abgeleitet wurde:
Das Potential
enthält alle gegenseitigen linearen Wechselwirkungen, z.B. das Coulomb-Potential,
wohingegen das Gravitationspotential sich aus der Masseverteilung aller Teilchen
ergibt.
Bei einer Born-Oppenheimer-Näherung
kann die -Teilchen-Gleichung
separiert werden. Eine Gleichung beschreibt die relative Bewegung, die andere
beschreibt die Dynamik des Schwerpunkts der Wellenfunktion. Für die relative
Bewegung spielt die gravitative Wechselwirkung nur eine geringe Rolle, das sie
üblicherweise schwach im Vergleich zu den anderen Wechselwirkungen ist. Sie hat
aber einen signifikanten Einfluss auf die Bewegung des Schwerpunkts.
Einfluss der Gravitation
Eine grobe Bestimmung der Größen, bei der sich Unterschiede zwischen der Schrödinger-Gleichung und der Schrödinger-Newton-Gleichung ergeben, ist durch Einsetzen einer Gauß-Verteilung möglich.
Für eine radialsymmetrische Gauß-Verteilung
hat die lineare Schrödingergleichung die Lösung
Das Maximum der Wahrscheinlichkeitsdichte
befindet sich bei
Für die Beschleunigung, das heißt die zweite Ableitung nach der Zeit ,
erhält man hieraus nach kurzer Rechnung
.
Dies wird mit der Beschleunigung durch die Gravitation
verglichen. Zur Zeit
ist
und die Gleichsetzung der Beträge der Beschleunigungen in diesem Abstand ergibt
und damit
Diese Gleichung erlaubt es, mit
eine kritische Abmessung für eine gegebene Masse zu bestimmen, und umgekehrt.
Numerische Berechnungen zeigen, dass diese Gleichung eine gute Abschätzung des Parameterbereichs ergibt, bei dem gravitative Einflüsse signifikant werden.
Für ein Wasserstoffatom (
= atomare
Masseneinheit) beträgt die kritische Größe ungefähr 1022 Meter;
bei einem Teilchen mit einer Masse von einem Mikrogramm erhält man
10−31 Meter. Im Bereich von 1010 atomaren Masseneinheiten
liegt die kritische Größe im Bereich von Mikrometern, so dass möglicherweise in
Zukunft eine experimentelle Prüfung der Schrödinger-Newton-Gleichung möglich
ist.
Kollaps der Wellenfunktion
Die Idee, dass Gravitation den Kollaps der Wellenfunktion hervorruft (oder zumindest beeinflusst), wurde schon in den 1960er Jahren von Károlyházy vorgeschlagen.
Als mathematische Beschreibung wurde in diesem Zusammenhang die Schrödinger–Newton-Gleichung von Diósi vorgeschlagen.
Roger Penrose diskutierte, dass eine Superposition von zwei oder mehr Quantenzuständen, welche sich signifikant in der Masseverteilung unterscheiden, instabil ist und daher in einen der Zustände übergeht. Seine Hypothese ist, dass es eine bevorzugte Menge von Zuständen (die stationären Zustände der Schrödinger-Newton-Gleichung) gibt, die nicht weiter kollabieren, sondern stabil sind. Ein makroskopisches, massives System kann sich daher niemals in einer Superposition von Zuständen befinden, da die nichtlineare gravitative Selbstwechselwirkung sofort zu einem Kollaps in einen stationären Zustand der Schrödinger-Newton-Gleichung führt. Nach Penroses Auffassung führt eine Messung eines Quantensystems einerseits zu einer Verschränkung mit der makroskopischen Umgebung und damit zur Dekohärenz, gleichzeitig führt die Verschränkung mit dem massiven Messsystem durch die gravitative Selbstwechselwirkung zur Reduktion zu einem bestimmten (dem gemessenen) Zustand.
Probleme und offene Fragen
Es existieren drei grundsätzliche Probleme bei der Interpretation der Schrödinger-Newton-Gleichung als Ursache für den Kollaps der Wellenfunktion.
Numerische Simulationen zeigen, dass beim „Kollaps“ der Wellenfunktion zu einer stationären Lösung ein kleiner Teil der Wellenfunktion zum Unendlichen strebt. Dies würde bedeuten, dass auch im Fall eines komplett reduzierten Zustands ein Teilchen mit einer geringen Wahrscheinlichkeit an einem entfernten Ort gemessen werden kann. Die Schrödinger-Newton-Gleichung kann damit nur teilweise als Erklärung herangezogen werden und der Effekt der Umgebung durch Dekohärenz muss berücksichtigt werden.
Ein zweites Problem ist, dass die Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation nicht erklärt wird. Zur Lösung des Messproblems ist es nicht ausreichend, dass ein Kollaps der Wellenfunktion auftritt. Es muss auch erklärt werden, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte, mit der ein Teilchen an einem bestimmten Ort gemessen wird, sich durch das Betragsquadrat der Wellenfunktion berechnen lässt. Es ist unklar, ob sich bei genauerer Analyse zeigen lässt, dass sich diese Wahrscheinlichkeitsdichte einstellt.
Ein letztes Problem ergibt sich durch die Interpretation der Wellenfunktion als reales physikalisches Objekt. Damit kann die Wellenfunktion eine Größe sein, die zumindest im Prinzip gemessen werden kann. Durch die nichtlokale Natur der Wellenfunktion könnte es daher möglich sein, Information mit Überlichtgeschwindigkeit zu übertragen, was im Widerspruch zur Relativitätstheorie steht. Es ist unklar, ob dieses Problem bei genauerer Betrachtung tatsächlich relevant ist.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 31.03. 2021