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Abbildung

Abbildung, optische

Ein Objekt, das sich im Abstand S1   von einer Linse der Brennweite f   befindet, auf einen Schirm abgebildet wird, der sich im Abstand S2   auf der anderen Seite der Linse befindet.
Voraussetzung ist, dass S1 > f  ist.
Vergleiche dazu Kardinalelemente

Die Erscheinung, daß ein von einem Dingpunkt ausgehendes Strahlenbündel nach Durchgang durch ein optisches System (infolge von Brechung durch Linsen oder Prismen oder infolge von Reflexion durch Spiegel) mehr oder weniger genau wieder in einem Punkt, dem Bildpunkt, vereinigt wird. Diesen Bildpunkt bezeichnet man auch als wirkliches oder reelles Bild (auffangbares Bild) des abzubildenden Dingpunktes. Die Abbildung heißt punktförmig oder scharf, wenn sich das Strahlenbündel wirklich in einem einzigen Punkt schneidet (homozentrisches Strahlenbündel). Das ist nur der Fall, wenn zur Abbildung nur achsennahe, paraxiale Strahlen verwendet werden, d. h. ein Strahlenbündel mit so kleinem Öffnungswinkel, daß die Sinus- und Tangensfunktionen ohne Einbuße an Genauigkeit durch die Winkel im Bogenmaß ersetzt werden können. Diesen Strahlenbereich bezeichnet man als fadenförmigen Raum und die Lehre von der optischen Abbildung mit Hilfe des fadenförmigen Raumes als Gaußsche Dioptrik.

Im mathematischen Sinne ist die scharfe Abbildung kollinear, d. h. eine Ebene im Dingraum wird punktweise scharf als Ebene im Bildraum abgebildet. Als Dingraum bzw. Bildraum bezeichnet man den Raum auf der Seite des optischen Systems, auf der sich der Gegenstand bzw. das Bild befindet. Bei Zeichnungen von Strahlengängen ist es üblich, den Dingraum links vom optischen System anzunehmen. Unter Umständen fallen Dingraum und Bildraum zusammen (z. B. bei der Spiegelung).
Der Strahlenraum ist der gesamte Raum zwischen Ding und Bild, der von den abbildenden Strahlen durchlaufen wird. Verschiebt sich der Gegenstand in Fortpflanzungsrichtung des Lichtes, so verlagert sich das Bild entweder ebenfalls in dieser Richtung (rechtläufige Abbildung) oder in entgegengesetzter Richtung (rückläufige Abbildung).

Im übertragenen Sinne spricht man auch dann von einem optischen Bild, wenn die Strahlen das optische System divergent verlassen und sich nur in ihrer rückwärtigen Verlängerung schneiden. Diesen Schnittpunkt bezeichnet man als scheinbares oder virtuelles Bild des abzubildenden Dingpunktes und die verlängerten Strahlen, welche zum Schnitt gebracht werden, als scheinbare oder virtuelle Strahlen. Bei der Abbildung durch brechende Flächen liegen virtuelle Bilder stets im Dingraum.

Das Bild kann im Verhältnis zum Gegenstand vergrößert oder verkleinert sein (Vergrößerung), und es kann auch eine andere Lage besitzen. Unter Bildlage versteht man die Eigenschaft des Bildes, im Vergleich zum Objekt aufrecht oder umgekehrt zu sein. Vollständige Bildumkehr liegt vor, wenn das Bild höhen- und seitenverkehrt ist, wie z. B. das durch eine Sammellinse erzeugte reelle Bild. Ist das Bild dagegen nur in einer Richtung verkehrt, wie das virtuelle Bild beim Planspiegel, so spricht man von einseitiger Bildumkehr. Mit einer Linse erzeugte virtuelle Bilder sind stets aufrecht, d. h. höhen- und seitenrichtig.

Für die Abbildung durch achsennahe Strahlen — und zwar nur für diese — gelten Gesetze der geometrischen Optik, die Abbildungsgleichungen. Man ersetzt hierbei das optische System durch seine Hauptebenen (Kardinalelemente); von diesen aus werden die Abstände zu Gegenstand und Bild, die Gegenstands- oder Dingweite und die Bildweite, gerechnet. Bei virtuellen Bildern setzt man die Bildweite stets negativ.

Schema der Abbildung durch eine Linse
Es bedeuten H, H' die Hauptebenen eines optischen Systems (H, H' auch für Hauptpunkte),
F, F' die Brennpunkte desselben,
n, n' die Brechungsindizes der Medien rechts und links vom System,
z' - 0' Systemachse
0, y Ort und Größe des abzubildenden Gegenstandes (Dinges),
0', y' Ort und Größe des Bildes.

Links vom optischen System ist also der Dingraum, rechts der Bildraum. Ferner seien a = OH die Gegenstandsweite oder Dingweite, a' = 0' H' die Bildweite, f = FH die dingseitige Brennweite, f' = H' F' die bildseitige Brennweite, z = 0 F und z' == F' 0' die Brennpunktsweiten, d. h. die Entfernungen des Gegenstandes und des Bildes vom zugehörigen Brennpunkt.

Dann gelten für die Abbildung mit einem achsensymmetrischen Strahlenbündel folgende Gleichungen: 1) zz' = ff' (Newtonsche Abbildungsgleichung); 2) (Abbildungsmaßstab); ß > 1 bedeutet Vergrößerung, ß < 1 Verkleinerung; 3) (allgemeine Abbildungsgleichung) ; 4) (Dingbrechkraft gleich Bildbrechkraft).

Aus diesen Gleichungen folgt, daß Gegenstand und Bild vertauschbar sind (Reziprozität optischer Bilder). Für n = n' vereinfachen sich die Abbildungsgleichungen zu: 1a) zz' = f2, 2a) ; 3a) ..

Schema der Abbildung mit Hilfe einer einzelnen brechenden Kugelfläche

Für die Abbildung mit Hilfe einer einzelnen brechenden Kugelfläche gelten ebenfalls die Gleichungen 1) bis 4), wenn man darin statt der von den Hauptebenen aus gerechneten Abstände (f, f', a, a') die entsprechenden vom Scheitel der Kugelfläche aus gemessenen Abstände (f, f', s, s') einsetzt. Die auf n = n' bezogenen Gleichungen sind in diesem Fall identisch mit den Abbildungsgleichungen für die Spiegelung an einer Kugelfläche (gewölbte Spiegel), bei der ja immer n = n' ist.

Der Unterschied zwischen Brechung und Spiegelung kann dadurch zum Ausdruck gebracht werden, daß bei der Brechung die Bildweite positiv gesetzt wird, wenn das Bild auf der entgegengesetzten, bei der Spiegelung jedoch, wenn es auf derselben Seite liegt wie der Gegenstand. Negative Bildweite bedeutet in beiden Fällen die Entstehung eines virtuellen Bildes, welches bei der Brechung im Dingraum, bei der Spiegelung jenseits der reflektierenden Fläche liegt.

Die Abbildungsgleichungen 1) bis 4) gelten für ein System aus beliebig vielen aufeinanderfolgenden brechenden Flächen, wenn H, H' die Hauptebenen und f, f' die Gesamtbrennweiten des Systems sind. Diese lassen sich nach den Gesetzen für zusammengesetzte Systeme aus den Einzelbrennweiten berechnen. Der Abbildungsmaßstab ß ist bei wiederholter Abbliung durch brechende Kugelflächen, indem, also das Bild der ersten Abbildung als Gegenstand der zweiten dient usw., gegeben durch das Produkt aus den Abbildungsmaßstäben β12, ... ,βk der k Kugelflächen. Sind n1,n1,...,n1 die Brechungsindizes der aufeinanderfolgenden Medien, so erhält man für den gesamten Abbildungsmaßstab (Gesamtvergrößerung): wobei s'1,s'2, ... ,s'k die k Bildweiten und s1,s2,... sk die k Gegenstandsweiten, von den Scheiteln ab gerechnet, sind. Hierbei ist es nicht notwendig, daß jedes Zwischenbild wirklich zustande kommt. Wird ein zu einem reellen Bild führender Strahlengang durch eine eingeschaltete Kugelfläche unterbrochen, so daß an anderer Stelle ein reelles oder virtuelles Bild entsteht, so kann man dieses Bild (auch bei der Konstruktion) als das durch die eingeschaltete Kugelfläche erzeugte Bild des nicht zustande gekommenen Bildes auffassen. Letzteres bezeichnet man als virtuellen Gegenstand.

Bei der Abbildung durch ein nicht achsensymmetrisches Strahlenbündel mit großem Neigungswinkel gegen die Achse des Systems erhält man ein unscharfes Bild, auch wenn das Bündel relativ eng ist. Eine brechende Kugelfläche hat dann zwei verschiedene Krümmungen, d. h. zwei verschiedene Brennweiten für zwei zueinander senkrechte Schnitte, von denen der eine die Bündelachse und die Systemachse enthält (Meridionalschnitt) und der andere dazu senkrecht steht (Sagittalschnitt, Astigmatismus). Man erhält dann für die Sagittalebene und für die Meridionalebene getrennt scharfe Bilder, deren Größe und Lage aus den Abbildungsgleichungen errechnet werden können.

Virtuelles Bild

scheinbares Bild, entsteht durch die Schnittpunkte der rückwärtigen Verlängerungen (virtuelle Strahlen) der aus einem optischen System divergent austretenden Strahlen, die vom Gegenstand herkommen. Virtuelle Bilder lassen sich nicht auf einem Schirm auffangen; indessen können wir sie sehen, da die Augenlinse das divergente Strahlenbündel wieder konvergent macht und auf der Netzhaut ein reelles Bild erzeugt.


 
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Datum der letzten Änderung : Jena, den: 05.11. 2019