Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren kann zum Lösen von Gleichungssystemen genutzt werden. Es ist bei einfachen Gleichungssystemen relativ einfach anzuwenden.

Beim Gleichsetzungsverfahren werden zwei Gleichungen so umgestellt, dass ihre linken Seiten identisch sind und nur eine Variable enthalten, die auf den rechten Seiten nicht vorhanden ist. Anschließend werden die beiden rechten Seiten gleichgesetzt, damit die neu entstehende Gleichung von einer Variablen weniger abhängt.

Beispiel

$\begin{align} & (1) & x + y & = & 3\\ & (2) & x \cdot y & = & 2 \end{align}$

Umstellen

Die Gleichungen stellt man jetzt nach einer Variablen um, hier nach . So erhält man folgende Gleichungen:

$\begin{align} & (1') & x & = & 3 - y,\\ & (2') & x & = & \frac{2}{y}. \end{align}$

Gleichsetzen

Da die linken Seiten identisch sind, muss dies auch für die rechten Seiten gelten. Man setzt daher diese nun gleich und erhält eine Gleichung, die nur noch die Unbekannte enthält:

$\begin{align} 3 - y & = \frac{2}{y} \end{align}$

Lösen der entstandenen Gleichung

Bestimmen der y-Werte

$\begin{align} 3 - y & = \frac{2}{y} &| & \cdot y \\ y ( 3 - y ) & = 2 &| & \text{ Klammer aufl}\ddot{\mathrm{o}}\text{sen}\\ 3y - y^2 & = 2 &| & - 3y\\ - y^2 & = 2 - 3y &| & + y^2\\ 0 & = y^2 - 3y + 2 &| & \text{ quadratische Gleichung in der Normalform} \rightarrow \text{L}\ddot{\mathrm{o}}\text{sen}\\ y_1 & = 1, & &\\ y_2 & = 2. & & \end{align}$

Man erhält hier zwei Lösungen für , was darauf hinweist, dass auch das System zwei Lösungspaare $(x\,|\,y)$ haben kann.

Bestimmen der x-Werte

Die Lösungen für setzt man in eine der beiden Ausgangsgleichungen (oder deren umgestellte Variante) ein und berechnet aus dieser das zugehörige .

$\begin{align} y_1:\quad & x_1 & = & 3 - y_1\\ & x_1 & = & 3 - 1\\ & x_1 & = & 2\\ y_2:\quad & x_2 & = & 3 - y_2\\ & x_2 & = & 3 - 2\\ & x_2 & = & 1\\ \end{align}$

Zusammenfassung

Somit hat das Gleichungssystem zwei Lösungen $(x\,|\,y)$ :

$\mathbb{L} = \{(2\,|\,1), (1\,|\,2)\}$

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de