Satz von Halmos-Savage

Der Satz von Halmos-Savage ist ein Lehrsatz der mathematischen Statistik, der bei Vorliegen einer dominierten Verteilungsklasse ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Suffizienz von σ-Algebren (und damit auch von Statistiken) liefert. Damit ist der Satz von Halmos-Savage ein Hilfsmittel, um zu überprüfen, ob gewisse Funktionen eine Datenkompression ohne Informationsverlust ermöglichen. Aus dem Satz von Halmos-Savage lässt sich das leichter zu handhabende Neyman-Kriterium für Suffizienz ableiten. Ebenso lassen sich aus dem Satz Kriterien für die Existenz von minimalsuffizienten σ-Algebren ableiten.

Der Satz wurde 1949 von Paul Halmos und Leonard J. Savage bewiesen.

Rahmenbedingungen

Gegeben sei ein statistisches Modell $(X,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})$ mit einer dominierten Verteilungsklasse ${\mathcal P}$ .

Für eine beliebige Verteilungsklasse ${\mathcal P}$ sei $\mathcal N_{\mathcal P}$ die Menge aller $\mathcal P$ -Nullmengen. Für eine dominierte Verteilungsklasse existiert nun immer ein dominierendes $P^{*}$ , so dass $\mathcal N_{\mathcal P}= \mathcal N_{P^*}$ und $P^{*}$ eine abzählbare Konvexkombination mit echt positiven Koeffizienten von Elementen aus ${\mathcal P}$ ist. Es gilt also

$P^*=\sum_{i=1}^\infty \alpha_i P_i \text{ mit } \alpha_i > 0 \text{ und } \sum_{i=1}^\infty \alpha_i =1$ .

Aussage

Sei ${\mathcal P}$ eine dominierte Verteilungsklasse und $P^{*}$ wie oben angegeben. Dann ist eine Unter-σ-Algebra ${\mathcal {S}}$ von $\mathcal A$ genau dann suffizient, wenn für alle $P \in \mathcal P$ eine Funktion $f_P \in \mathcal L(X, \mathcal S)$ existiert, so dass f_P P^* -fast sicher die Radon-Nikodým-Ableitung von bezüglich $P^{*}$ ist, also

$f_P=\frac{\mathrm dP}{ \mathrm d P^*} \quad P^*\text{-fast sicher}$ .

Beispiel

Seien $\mathcal S_1 \subset \mathcal S_2 \subset \mathcal A$ σ-Algebren und sei $\mathcal S_1$ suffizient. Außerdem sei ${\mathcal P}$ eine dominierte Verteilungsklasse. Dann existiert nach dem Satz von Halmos-Savage ein f_P , so dass $f_P \in \mathcal L(X, \mathcal S_1)$ und

$f_P=\frac{\mathrm dP}{ \mathrm d P^*} \quad P^*\text{-fast sicher}$ .

Da aber $L(X,{\mathcal {S}}_{1})\subset L(X,{\mathcal {S}}_{2})$ ist, gilt $f_{P}\in L(X,{\mathcal {S}}_{2})$ . Da f_P immer noch die Dichten-Eigenschaft erfüllt, ist mit nochmaliger Anwendung des Satzes auch $\mathcal S_2$ suffizient.

Man beachte, dass diese Aussage im Allgemeinen nicht gilt und dies eines der Defizite des Suffizienzbegriffs darstellt.

Literatur

Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de