Hausdorff-Metrik

Die gefärbten Mengen links haben verhältnismäßig geringen Hausdorff-Abstand zu den entsprechenden Mengen rechts.

Die Hausdorff-Metrik, benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff, misst den Abstand {\displaystyle \delta (A,B)} zwischen nichtleeren kompakten Teilmengen A, B eines metrischen Raums E.

Anschaulich haben zwei kompakte Teilmengen einen geringen Hausdorff-Abstand, wenn es zu jedem Element der einen Menge ein Element der anderen Menge gibt, zu dem dieses einen geringen Abstand hat.

Definition

Als Hilfsmittel definiert man den Abstand D zwischen einem Punkt x und einer nichtleeren kompakten Teilmenge K\subseteq E unter Rückgriff auf die Metrik d des Raums E als

D(x,K):=\min\{d(x,k)\mid k\in K\}.

Dann definiert man den Hausdorff-Abstand zwischen zwei nichtleeren kompakten Teilmengen A und B als

\delta (A,B):=\max\{\max\{D(a,B)\mid a\in A\},\max\{D(b,A)\mid b\in B\}\}.

Man kann zeigen, dass \delta in der Tat eine Metrik auf der Menge aller kompakten Teilmengen von E ist.

Äquivalent kann man den Hausdorff-Abstand definieren als

{\displaystyle \delta (A,B)=\inf\{\epsilon \geq 0\,|\ A\subseteq B_{\epsilon }{\text{ und }}B\subseteq A_{\epsilon }\}},

wobei

{\displaystyle A_{\epsilon }:=\bigcup _{a\in A}\{z\in E\,|\ d(z,a)\leq \epsilon \}},

dies ist die Menge aller Punkte mit einem Abstand \epsilon zur Menge A.

Anwendungen

In der Theorie der iterierten Funktionensysteme werden Fraktale als Folgengrenzwerte im Sinne der Hausdorff-Metrik erzeugt.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 28.05. 2021