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Weierstraßscher Konvergenzsatz

Der weierstraßsche Konvergenzsatz ist ein nach Karl Weierstraß benannter Satz aus der Funktionentheorie. Er besagt, dass die Grenzfunktion einer lokal gleichmäßig konvergenten Folge holomorpher Funktionen wiederum eine holomorphe Funktion ist. Zudem konvergieren auch sämtliche Ableitungen lokal gleichmäßig gegen die entsprechende Ableitung der Grenzfunktion.

Formulierung

Sei G\subset {\mathbb  {C}} ein Gebiet und (f_{n})_{n\in \mathbb {N} } eine Folge holomorpher Funktionen {\displaystyle f_{n}:G\rightarrow \mathbb {C} }, die auf G lokal gleichmäßig gegen eine Funktion {\displaystyle f:G\rightarrow \mathbb {C} } konvergiert, das heißt, zu jedem z\in G gibt es eine Umgebung U\subset G von z, so dass f_{n} auf U gleichmäßig gegen f konvergiert. Dann gilt:

Gegenbeispiele im Reellen

Der weierstraßsche Konvergenzsatz ist insofern bemerkenswert, als sein reelles Analogon falsch ist: Die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Folge differenzierbarer Funktionen muss nicht differenzierbar sein, und selbst wenn sie es ist, brauchen die Ableitungen der Folgenglieder nicht punktweise gegen die Ableitung der Grenzfunktion zu konvergieren.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 17.12. 2020