Weierstraßsches Majorantenkriterium
Das Weierstraßsche Majorantenkriterium (auch: Weierstraßscher M-Test) ist ein Kriterium zum Nachweis gleichmäßiger und absoluter Konvergenz einer Funktionenreihe. Als Spezialfall enthält es das Majorantenkriterium für Reihen. Es wurde nach dem Mathematiker Karl Weierstraß benannt.
Aussage
Sei eine Folge reell- oder komplexwertiger Funktionen auf der Menge . Seien reelle Konstanten, so dass
für alle und alle in gilt. Weiterhin konvergiere die Reihe .
Dann gilt: Die Reihe
konvergiert absolut und gleichmäßig auf .
Beispiel
Sei eine reelle Zahl, dann ist die Weierstraß-Funktion
überall stetig aber nirgends differenzierbar. Die Stetigkeit dieser Funktion kann durch den Weierstraßschen M-Test nachgewiesen werden. Es gilt nämlich
sowie
nach der Formel für die geometrische Reihe. Daher konvergiert die Reihe gleichmäßig nach dem Weierstraßschen M-Test. Die einzelnen Partialsummen bilden nun eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen konvergiert. Damit ist als ein solcher Grenzwert stetig.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 25.12. 2020