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Weierstraßsches Majorantenkriterium

Das Weierstraßsche Majorantenkriterium (auch: Weierstraßscher M-Test) ist ein Kriterium zum Nachweis gleichmäßiger und absoluter Konvergenz einer Funktionenreihe. Als Spezialfall enthält es das Majorantenkriterium für Reihen. Es wurde nach dem Mathematiker Karl Weierstraß benannt.

Aussage

Sei (f_{n})_{n\in \mathbb {N} } eine Folge reell- oder komplexwertiger Funktionen auf der Menge A. Seien M_{n} reelle Konstanten, so dass

|f_{n}(x)|\leq M_{n}

für alle n\geq 1 und alle x in A gilt. Weiterhin konvergiere die Reihe \textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }M_{n}.

Dann gilt: Die Reihe

\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)

konvergiert absolut und gleichmäßig auf A.

Beispiel

Sei 0<\alpha <1 eine reelle Zahl, dann ist die Weierstraß-Funktion

{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n\alpha }e^{i2^{n}x}}

überall stetig aber nirgends differenzierbar. Die Stetigkeit dieser Funktion kann durch den Weierstraßschen M-Test nachgewiesen werden. Es gilt nämlich

{\displaystyle \left|2^{-n\alpha }e^{i2^{n}x}\right|=2^{-n\alpha }}

sowie

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{-n\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2^{\alpha })^{n}}}={\frac {1}{1-2^{-\alpha }}}<\infty }

nach der Formel für die geometrische Reihe. Daher konvergiert die Reihe f(x) gleichmäßig nach dem Weierstraßschen M-Test. Die einzelnen Partialsummen bilden nun eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen f konvergiert. Damit ist f als ein solcher Grenzwert stetig.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 25.12. 2020