Euler-Zahlen
Die nach Leonhard Euler benannte Euler-Zahl An,k in der Kombinatorik, auch geschrieben als oder , ist die Anzahl der Permutationen (Anordnungen) von , in denen genau Elemente größer als das vorhergehende sind, die also genau Anstiege enthalten. Äquivalent dazu ist die Definition mit „kleiner“ statt „größer“ und „Abstiege“ statt „Anstiege“. Nach einer anderen Definition ist die Euler-Zahl die Anzahl der Permutationen von mit genau maximalen monoton ansteigenden Abschnitten, wodurch der zweite Parameter gegenüber der hier verwendeten Definition um eins verschoben ist: .
Euler-Dreieck
Wie die Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck können die Euler-Zahlen im Euler-Dreieck angeordnet werden (erste Zeile , erste Spalte ; Folge A008292 in OEIS):
1 1 1 1 4 1 1 11 11 1 1 26 66 26 1 1 57 302 302 57 1 1 120 1191 2416 1191 120 1 1 247 4293 15619 15619 4293 247 1 1 502 14608 88234 156190 88234 14608 502 1 1 ... ... ... ... ... ... ... ... 1
Dabei kann man mit der folgenden Rekursionsformel jeden Eintrag aus den beiden darüberstehenden berechnen:
für mit und für . Auch die Konvention und für wäre sinnvoll, sie ist bei der alternativen Definition üblich.
Eigenschaften
Direkt aus der Definition folgen und für und
- für .
Aus den Binomialkoeffizienten können die Euler-Zahlen mit der Formel
für berechnet werden, insbesondere
- Folge A000295 in OEIS,
- Folge A000460 in OEIS und
- Folge A000498 in OEIS.
Es gilt die Worpitzky-Identität (Julius Worpitzky 1883)
für , wobei eine Variable und ein verallgemeinerter Binomialkoeffizient ist.
Eine erzeugende Funktion für ist
Eine Beziehung zu den Bernoulli-Zahlen wird durch die alternierende Summe
für hergestellt.
Euler-Polynome
Das Euler-Polynom ist definiert durch
also
Aus den entsprechenden Gleichungen für die Euler-Zahlen erhält man die Rekursionsformel
und die erzeugende Funktion
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 02.06. 2019