Fresnel-Integral

Als Fresnel-Integrale werden in der Mathematik, insbesondere im Teilgebiet der Analysis, zwei uneigentliche Integrale bezeichnet, die nach dem Physiker Augustin Jean Fresnel benannt sind.

Definition

Die beiden Integrale


\int_{-\infty}^{\infty}\cos(t^2)\,\mathrm{d}t
     =\int_{-\infty}^{\infty}\sin(t^2)\,\mathrm{d}t = \tfrac12\sqrt{2\pi}

heißen Fresnel-Integrale. Sie ergeben sich aus dem gaußschen Fehlerintegral unter Benutzung des cauchyschen Integralsatzes.

Geschichte

Fresnel beschäftigte sich um 1819 mit diesen Integralen. Euler betrachtete schon 1781 die allgemeineren Integrale


\int_{-\infty}^{\infty}e^{(a^2-1)t^2}\cos(2at^2)\,\mathrm{d}t = \frac{\sqrt{\pi}}{1+a^2},\qquad -1\le a\le1

und


\int_{-\infty}^{\infty}e^{(a^2-1)t^2}\sin(2at^2)\,\mathrm{d}t =
 \frac{a\,\sqrt{\pi}}{1+a^2},\qquad -1\le a\le1.

Fresnel-Integrale in der Quantenmechanik

Sie spielen auch eine wichtige Rolle in der Quantenmechanik. Der Ansatz, die Quantenmechanik aus Pfadintegralen herzuleiten, basiert auf Integralen der Form:

\mathcal{F}^{(j)}\equiv \mathcal{N} \int_{-\infty}^{\infty} \ \mathrm{e}^{i \alpha \xi^2} \xi^j \mathrm{d}\xi\,.

Eine praktische Formulierung der Normierungskonstante \mathcal{N} ist

\mathcal{N} \equiv \sqrt{\frac{\alpha}{i\pi}},

j ist eine ganze natürliche Zahl. Für j=0 ist das Integral

\mathcal{F}\equiv \mathcal{F}^{(0)} \equiv \mathcal{N} \int_{-\infty}^{\infty} \  \mathrm{e}^{i \alpha \xi^2} \mathrm{d}\xi

und heißt dann Fresnel-Integral. Integrale dieser Form tauchen in der aus den feynmanschen Pfadintegralen hergeleiteten Schrödingergleichung auf.

Aus dem Fresnel-Integral ergibt sich eine komplexe Zahl, deren Real- und Imaginärteile bestimmt sind durch

\int_{-\infty}^{\infty} \cos (\alpha \xi^2) \, \mathrm{d}\xi = \sqrt{\frac{\pi}{2\left|\alpha\right|}} und
\int_{-\infty}^{\infty} \sin (\alpha \xi^2) \, \mathrm{d}\xi = \sqrt{\frac{\pi}{2\left|\alpha\right|}}\cdot \operatorname{sign}(\alpha)\,.

Beide Integrale konvergieren. Das Cosinus-Integral ist aufgrund der Symmetrie des Cosinus invariant gegenüber einem Vorzeichenwechsel von \alpha, der antisymmetrische Sinus wechselt das Vorzeichen. Aus der Addition ergibt sich mit \sqrt{i}=e^{i\frac{\pi}{4}} und -1=e^{i\pi} und einer Fallunterscheidung für die Signumfunktion als Lösung des Fresnel-Integrals

\mathcal{F}\equiv \mathcal{F}^{(0)} \equiv \mathcal{N} \int_{-\infty}^{\infty} \  \mathrm{e}^{i \alpha \xi^2} \mathrm{d}\xi = \sqrt{\frac{\alpha}{i\pi}}\cdot \sqrt{\frac{i\pi}{\alpha}}=1\,.

Hieraus erklärt sich auch die Normierungskonstante, die genau das Inverse der Integrallösung sein muss, damit der Gesamtausdruck 1 ist. In der Quantenmechanik wählt man dies aus pragmatischen Gründen und aus der Idee heraus, dass eine Wellenfunktion einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit entspricht; also muss das Integral über diese Funktion 1 sein, da sich das beschriebene Teilchen schließlich irgendwo befindet.

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 20.06. 2020