Pseudobetrag
Ein Pseudobetrag ist eine abgeschwächte Variante eines Betrags.
Definition
Sei ein unitärer Ring. Eine Abbildung in die nichtnegativen reellen Zahlen wird Pseudobetrag genannt, wenn für alle folgende Eigenschaften gelten:
- (1) (Definitheit)
- (2)
- (3) (Submultiplikativität)
Wird (3) verschärft zu
- (3a) (Multiplikativität),
so ist ein Betrag.
Der Pseudobetrag heißt nicht-archimedisch, wenn
- (4)
gilt.
Eigenschaften
- Für einen Pseudobetrag gelten stets
-
- und
- (Dreiecksungleichung).
- Für einen Pseudobetrag gilt stets , für einen Betrag gilt sogar .
- Jeder unitäre Ring mit Betrag ist notwendigerweise bereits ein Integritätsring (durch die Multiplikativität vererbt sich die Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen auf den Ring).
- Die Funktion
-
- definiert die vom Pseudobetrag induzierte Metrik. Sie ist eine Ultrametrik, wenn jener nicht-archimedisch ist.
Beispiele
Sei ein unitärer Ring mit Pseudobetrag.
Polynomringe mit Pseudobetrag
Dann sind die Polynomalgebren in einer bzw. in mehreren Veränderlichen selbst wiederum unitäre Ringe (mit der Polynommultiplikation). Die 1-Pseudonorm ist auf diesen Polynomringen ein Pseudobetrag.
Matrizenringe mit Pseudobetrag
Analog sind die Matrizenalgebren wiederum unitäre Ringe (hier mit der Matrizenmultiplikation). Hier ist sogar die p-Pseudonorm für jedes reelle p mit ein Pseudobetrag auf dem Matrizenring.
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de Seite zurück© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 16.02. 2019