Pseudobetrag

Ein Pseudobetrag ist eine abgeschwächte Variante eines Betrags.

Definition

Sei R ein unitärer Ring. Eine Abbildung {\displaystyle |\cdot |\colon R\to \mathbb {R} _{\geq 0}} in die nichtnegativen reellen Zahlen wird Pseudobetrag genannt, wenn für alle a,b\in R folgende Eigenschaften gelten:

(1) |a|=0\;\Leftrightarrow \;a=0 (Definitheit)
(2) |a-b|\leq |a|+|b|
(3) |a\cdot b|\leq |a|\cdot |b| (Submultiplikativität)

Wird (3) verschärft zu

(3a) |a\cdot b|=|a|\cdot |b| (Multiplikativität),

so ist |\cdot | ein Betrag.

Der Pseudobetrag |\cdot | heißt nicht-archimedisch, wenn

(4) |a+b|\leq \max(|a|,|b|)

gilt.

Eigenschaften

|-a|=|a|
und
|a+b|\leq |a|+|b| (Dreiecksungleichung).
{\displaystyle {\begin{array}{llll}d\;\colon &R\times R&\to \mathbb {R} _{\geq 0}\\&d(a,b)&\mapsto |a-b|\end{array}}}
definiert die vom Pseudobetrag {\displaystyle |\cdot |} induzierte Metrik. Sie ist eine Ultrametrik, wenn jener nicht-archimedisch ist.

Beispiele

Sei (R,|\cdot |) ein unitärer Ring mit Pseudobetrag.

Polynomringe mit Pseudobetrag

Dann sind die Polynomalgebren R[X] in einer bzw. R[X_{1},\ldots ,X_{n}] in mehreren Veränderlichen selbst wiederum unitäre Ringe (mit der Polynommultiplikation). Die 1-Pseudonorm ist auf diesen Polynomringen ein Pseudobetrag.

Matrizenringe mit Pseudobetrag

Analog sind die Matrizenalgebren R^{n\times n} wiederum unitäre Ringe (hier mit der Matrizenmultiplikation). Hier ist sogar die p-Pseudonorm für jedes reelle p mit 1\leq p\leq 2 ein Pseudobetrag auf dem Matrizenring.

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Basierend auf einem Artikel in: Extern Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 16.02. 2019