Semiprimideal

Ein Semiprimideal ist ein Begriff aus der abstrakten Algebra. Er stellt eine Erweiterung des Begriffs des Primideals dar.

Definition

Im Folgenden sei R ein Ring mit Eins. Dann ist ein Ideal Q von R ein Semiprimideal, wenn es eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

Ist $I\triangleleft R$ ein Ideal von R mit $I^{2}\subseteq Q$ , dann ist $I\subseteq Q$ .
Q ist ein Durchschnitt von Primidealen.

Ein Ring R heißt semiprim, wenn $\{0\}$ ein Semiprimideal ist. Dann ist die Abbildung $R\rightarrow \prod _{P}R/P,\,x\mapsto (x+P)_{P}$ , wobei das Produkt über alle Primideale gebildet wird, injektiv. Daher ist ein semiprimer Ring subdirektes Produkt primer Ringe, das heißt solcher, in denen das Nullideal prim ist.
Ein Durchschnitt von Semiprimidealen ist wieder ein Semiprimideal.
Das Primradikal ist das kleinste Semiprimideal.

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