Maurer-Cartan-Form

Die Maurer-Cartan-Form ist eine in Differentialgeometrie und Mathematischer Physik häufig verwendete Lie-Algebra-wertige Differentialform auf Lie-Gruppen. Sie ist benannt nach dem deutschen Mathematiker und Hochschullehrer Ludwig Maurer und dem französischen Mathematiker Élie Cartan.

Definition

Sei G eine Lie-Gruppe, {\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G} ihre Lie-Algebra. Für g\in G induziert die Links-Multiplikation

{\displaystyle L_{g^{-1}}:G\rightarrow G}>
{\displaystyle L_{g^{-1}}(h):=g^{-1}h}

das Differential

{\displaystyle (DL_{g^{-1}})_{g}:T_{g}G\rightarrow T_{e}G={\mathfrak {g}}}.

Die Maurer-Cartan-Form {\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(G,{\mathfrak {g}})} ist definiert durch

{\displaystyle \omega (v):=(DL_{g^{-1}})_{g}(v)}

für {\displaystyle v\in T_{g}G,g\in G}.

Maurer-Cartan-Gleichung

Die Maurer-Cartan-Form erfüllt die Gleichung

{\displaystyle d\omega +{\frac {1}{2}}\left[\omega ,\omega \right]=0}.

Hierbei ist der Kommutator Lie-algebra-wertiger Differentialformen durch

{\displaystyle [\omega \wedge \eta ](v_{1},v_{2})=[\omega (v_{1}),\eta (v_{2})]-[\omega (v_{2}),\eta (v_{1})]}

und die äußere Ableitung d\omega durch

{\displaystyle d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y])}

definiert.

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 26.12. 2021