Dirac-Spinor
Ein Dirac-Spinor ist ein Begriff aus der Mathematik, der nach Paul Dirac benannt ist. Dirac-Spinoren sind ein Elemente der fundamentalen Darstellung der komplexifizierten Clifford-Algebra und sind somit eine bestimmte Gattung von Spinoren. Sie sind ein nützliches Konzept der Quantenphysik.
Häufig als Dirac-Spinoren bezeichnet werden auch Lösungen der Dirac-Gleichung. Diese sind Dirac-Spinorfelder, das heißt jedem Punkt der Raumzeit wird ein vierdimensionaler Dirac-Spinor zugeordnet.
Mathematische Konstruktion
Sei . Die komplexifizierte Clifford-Algebra ist isomorph zur Matrizenalgebra falls gerade ist, oder isomorph zu falls ungerade ist. In jedem Fall hat sie eine kanonische -dimensionale Darstellung, die also für alle Signaturen mit existiert und auch eine Darstellung der Spin-Gruppe ist. Diese Darstellung heißt Spinor-Darstellung, die Vektoren dieses Darstellungsraumes werden als Dirac-Spinoren bezeichnet.
In ungeraden Dimensionen ist diese Darstellung, als Darstellung von betrachtet, reduzibel. Sie kann in zwei sogenannte Weyl-Spinoren der Dimension zerlegt werden: .
Anwendung in der Elementarteilchenphysik
Dirac-Spinoren in 3+1 Raum-Zeit-Dimensionen, also zu , dienen im Rahmen der Quantenelektrodynamik zur mathematischen Beschreibung von Fermionen mit Spin 1/2. Zu diesen Dirac-Fermionen gehören im Standardmodell der Teilchenphysik sämtliche fundamentalen Fermionen. In diesem Fall sind die Dirac-Spinoren vierdimensional, gehören zu einer Darstellung der Lorentzgruppe und sind Lösungen der Dirac-Gleichung.
Majorana-Fermionen wurden dagegen bisher nicht gefunden, aber von manchen vereinheitlichten Feldtheorien vorhergesagt. Sie entsprechen reellen Darstellungen der Cliffordalgebren. In Stringtheorien und Branentheorien werden auch Dirac-Spinoren in höheren Dimensionen betrachtet.
Literatur
- Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Vieweg Verlag, ISBN 978-3-528-06926-1.
© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 05.02. 2021