Dirac-Spinor

Ein Dirac-Spinor ist ein Begriff aus der Mathematik, der nach Paul Dirac benannt ist. Dirac-Spinoren sind ein Elemente der fundamentalen Darstellung \Delta der komplexifizierten Clifford-Algebra {\mathrm  {Cliff}}(p,q) und sind somit eine bestimmte Gattung von Spinoren. Sie sind ein nützliches Konzept der Quantenphysik.

Häufig als Dirac-Spinoren bezeichnet werden auch Lösungen der Dirac-Gleichung. Diese sind Dirac-Spinorfelder, das heißt jedem Punkt der Raumzeit wird ein vierdimensionaler Dirac-Spinor zugeordnet.

Mathematische Konstruktion

Sei {\displaystyle n=p+q}. Die komplexifizierte Clifford-Algebra {\mathrm  {Cliff}}(p,q) ist isomorph zur Matrizenalgebra {\displaystyle Mat_{2^{k}}(\mathbb {C} )} falls n=2k gerade ist, oder isomorph zu {\displaystyle Mat_{2^{k-1}}(\mathbb {C} )\oplus Mat_{2^{k-1}}(\mathbb {C} )} falls {\displaystyle n=2k-1} ungerade ist. In jedem Fall hat sie eine kanonische 2^{k}-dimensionale Darstellung, die also für alle Signaturen (p,q) mit {\displaystyle n=p+q} existiert und auch eine Darstellung der Spin-Gruppe {\mathrm  {Spin}}(p,q) ist. Diese Darstellung heißt Spinor-Darstellung, die Vektoren dieses Darstellungsraumes werden als Dirac-Spinoren bezeichnet.

In ungeraden Dimensionen n ist diese Darstellung, als Darstellung von {\mathrm  {Spin}}(p,q) betrachtet, reduzibel. Sie kann in zwei sogenannte Weyl-Spinoren der Dimension 2^{k-1} zerlegt werden: \Delta =\Delta _{+}\oplus \Delta _{-}.

Anwendung in der Elementarteilchenphysik

Dirac-Spinoren in 3+1 Raum-Zeit-Dimensionen, also zu {\displaystyle \mathrm {Cliff} (3,1)}, dienen im Rahmen der Quantenelektrodynamik zur mathematischen Beschreibung von Fermionen mit Spin 1/2. Zu diesen Dirac-Fermionen gehören im Standardmodell der Teilchenphysik sämtliche fundamentalen Fermionen. In diesem Fall sind die Dirac-Spinoren vierdimensional, gehören zu einer Darstellung der Lorentzgruppe und sind Lösungen der Dirac-Gleichung.

Majorana-Fermionen wurden dagegen bisher nicht gefunden, aber von manchen vereinheitlichten Feldtheorien vorhergesagt. Sie entsprechen reellen Darstellungen der Cliffordalgebren. In Stringtheorien und Branentheorien werden auch Dirac-Spinoren in höheren Dimensionen betrachtet.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 05.02. 2021