μ-Rekursion

Die Klasse Pr der μ-rekursiven Funktionen oder partiell-rekursiven Funktionen spielt in der Rekursionstheorie, einem Teilgebiet der theoretischen Informatik, eine wichtige Rolle (µ für griechisch μικρότατος ‚das kleinste‘). Nach der Church-Turing-These beschreibt sie die Menge aller Funktionen, die im intuitiven Sinn berechenbar sind. Eine wichtige echte Teilmenge der μ-rekursiven Funktionen sind die primitiv-rekursiven Funktionen.

Die Klasse der μ-rekursiven Funktionen stimmt überein mit der Klasse der Turing-berechenbaren Funktionen sowie weiteren gleich mächtigen Berechenbarkeitsmodellen, wie dem Lambda-Kalkül, Registermaschinen und WHILE-Programmen.

Die primitiv-rekursiven Funktionen sind aus einfachen Grundfunktionen (konstante 0-Funktion, Projektionen auf ein Argument und Nachfolgerfunktion) durch Komposition und primitive Rekursion aufgebaut. Dadurch erhält man immer totale Funktionen, also Funktionen im eigentlichen Sinn. Die μ-rekursiven Funktionen sind demgegenüber partielle Funktionen, die aus denselben Konstrukten und zusätzlich durch die Anwendung des μ-Operators gebildet werden können. Durch die Anwendung des μ-Operators wird Partialität eingeführt. Jedoch ist nicht jede μ-rekursive Funktion nicht-total. Beispielsweise sind alle primitiv-rekursiven Funktionen auch μ-rekursiv. Ein Beispiel für eine nicht primitiv-rekursive, totale, μ-rekursive Funktion ist die Ackermannfunktion.

Definition des μ-Operators

Für eine partielle Funktion $f\colon \mathbb {N} ^{k+1}\to \mathbb {N}$ und natürliche Zahlen $x_{1};\dots ;x_{k}\in \mathbb{N}$ sei die Menge

$M(f,x_{1},\dots ,x_{k})=\{n\in \mathbb {N} \mid f(x_{1},\dots ,x_{k},n)=0\ \land \ \forall 0\leq m\leq n\colon f(x_{1},\dots ,x_{k},m)\downarrow \}$

festgehalten, also die Gesamtheit aller derart, dass an der Stelle $(x_{1},\dots ,x_{k},n)$ identisch 0 verschwindet und zusätzlich für alle Punkte $(x_{1},\dots ,x_{k},m)$ mit $m\leq n$ definiert ist.

Zu beachten ist dabei, dass $M(f,x_{1},\dots ,x_{k})$ als Menge natürlicher Zahlen genau dann ein Minimum besitzt, wenn sie nicht leer ist. (vgl. Wohlordnung)

Durch Anwendung des $\mu$ -Operators auf entstehe nun die partielle Funktion $\mu f\colon \mathbb{N} ^{k}\to \mathbb{N}$ definiert durch:

$\mu f(x_{1},\dots ,x_{k})={\begin{cases}\min M(f,x_{1},\dots ,x_{k})&{\mbox{falls }}M(f,x_{1},\dots ,x_{k})\not =\emptyset \\{\mbox{undefiniert}}&{\mbox{sonst}}\\\end{cases}}$

Insbesondere bildet der Operator $\mu$ also eine (k+1) -stellige partielle Funktion auf eine -stellige partielle Funktion ab.

Für berechenbares kann das Programm zur Berechnung von $\mu f$ verstanden werden als eine While-Schleife, die nach oben zählt, und die deswegen nicht terminieren muss:

Parameter: .
Setze  auf ;
Solange  erhöhe  um ;
Ergebnis: .

Definition der μ-rekursiven Funktionen

Die Klasse der μ-rekursiven Funktionen (von ${\mathbb {N}}^{k}\to {\mathbb {N}}$ ) umfasst die folgenden Grundfunktionen:

konstante 0-Funktion: $f^{k}\left(n_{1},\dots ,n_{k}\right):=0$
Projektion auf ein Argument: $\pi _{i}^{k}\left(n_{1},\dots ,n_{k}\right):=n_{i}$ , $1\leq i\leq k$
Nachfolgefunktion: $\nu \left(n\right):=n+1$

Die μ-rekursiven Funktionen erhält man als Abschluss der Grundfunktionen bezüglich der drei folgenden Operationen:

Die Komposition: $f\left(n_{1},\dots ,n_{k}\right):=g\left(h_{1}\left(n_{1},\dots ,n_{k}\right),\dots ,h_{m}\left(n_{1},\dots ,n_{k}\right)\right)$ , falls $g,h_{1},\dots ,h_{m}\in Pr$
Die Primitive Rekursion: $f\left(0,n_{2},\dots ,n_{k}\right):=g\left(n_{2},\dots ,n_{k}\right)$ und $f\left(n_{1}+1,n_{2},\dots ,n_{k}\right):=h\left(f\left(n_{1},\dots ,n_{k}\right),n_{1},\dots ,n_{k}\right)$ , falls $h,g\in Pr$
Der μ-Operator.

Äquivalenz der μ-rekursiven Funktionen mit der Turingmaschine

Es lässt sich beweisen, dass eine Turingmaschine (TM) durch μ-rekursive Funktionen simuliert werden kann. Es lässt sich auch beweisen, dass die Menge der μ-rekursiven Funktionen genau der Menge der Turing-berechenbaren Funktionen entspricht.

Beweis-Skizze für die Simulation der TM mit μ-rekursiven Funktionen

Man kann zeigen, dass sich die Konfiguration einer TM durch drei Zahlen , , darstellen lässt. Genau so kann eine Funktion h(a,b,c)=y (eine bijektive Abbildung ${\mathbb {N}}^{3}\to {\mathbb {N}}$ ) definiert werden, die eine geeignete Kodierung der TM ist.

Nehmen wir also eine primitiv-rekursive Funktion

die eine geeignete Kodierung der TM liefert für die Eingabe nach Berechnungsschritten,

und eine zweite primitiv-rekursive Funktion

$g(y)=0\lor g(y)=1$ ,

die für eine Kodierung als Ergebnis 0 liefert, falls einen Endzustand der TM repräsentiert, und ansonsten 1.

Dann ergibt

${\mathrm {Anzahl}}(x)=\mu (g(f(n,x)))$

die Anzahl der Schritte, die eine TM zur Berechnung bis zum Ende benötigt. Also bekommen wir mit

${\mathrm {Berechnung}}(x)=f({\mathrm {Anzahl}}(x),x)$

die Berechnung der TM in einem Endzustand bei der Eingabe .

Bemerkung

Die Berechenbarkeit einer μ-rekursiven Funktion bezieht sich auf Werte aus ihrem Definitionsbereich. Es existiert kein allgemeines Verfahren, das alle Werte liefert, die nicht zum Definitionsbereich einer μ-rekursiven Funktion gehören.
Der μ-Operator realisiert einen Suchprozess, der genau dann abbricht, wenn der gesuchte Wert existiert.

Beispiele

Alle primitiv-rekursiven Funktionen sind μ-rekursiv.
Die Ackermannfunktion und die Sudanfunktion sind totale μ-rekursive Funktionen, die nicht primitiv-rekursiv sind.
Die Funktion Fleißiger Biber (busy beaver) ist nicht μ-rekursiv.
Die Folge der Ziffern der Halte-Wahrscheinlichkeit (Chaitinsche Konstante $\Omega$ ) ist nicht μ-rekursiv. Die Halte-Wahrscheinlichkeit ist definiert durch $\Omega :=\sum _{{p}}2^{{-\left|p\right|}}$ , wobei ein haltendes Programm ist und $\left|p\right|$ die Länge des Programms in Bit bezeichnet.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de