Mehrwertige Abhängigkeit

Eine mehrwertige Abhängigkeit (englisch multivalued dependency (MVD)) \alpha \twoheadrightarrow \beta beschreibt die Abhängigkeit einer Menge von Attributen \beta von einer Menge aus Attributen \alpha .

Definition und Erläuterung

Im Folgenden repräsentiere t[\alpha ] alle Attribute (Spalten) \alpha des Tupels (Zeile) t dar. Eine mehrwertige Abhängigkeit \alpha \twoheadrightarrow \beta zwischen Attributen einer Relation R liegt vor, wenn gilt:

Für zwei Tupel t_{1}\neq t_{2} mit t_{1}[\alpha ]=t_{2}[\alpha ] existieren in jeder zulässigen Instanz von R stets zwei weitere Tupel t_{3}\neq t_{4} mit:

{\begin{matrix}t_{1}[\alpha ]=t_{2}[\alpha ]=t_{3}[\alpha ]=t_{4}[\alpha ]\\t_{1}[\beta ]=t_{3}[\beta ]\\t_{2}[\beta ]=t_{4}[\beta ]\\t_{1}[R-\alpha -\beta ]=t_{4}[R-\alpha -\beta ]\\t_{2}[R-\alpha -\beta ]=t_{3}[R-\alpha -\beta ]\end{matrix}}


Anschaulich ergibt sich daraus:

{\begin{matrix}{\text{Tupel}}&\alpha &\beta &R-\alpha -\beta \\t_{1}&a_{1}..a_{n}&b_{1}..b_{m}&d_{1}..d_{k}\\t_{2}&a_{1}..a_{n}&c_{1}..c_{m}&e_{1}..e_{k}\\t_{3}&a_{1}..a_{n}&b_{1}..b_{m}&e_{1}..e_{k}\\t_{4}&a_{1}..a_{n}&c_{1}..c_{m}&d_{1}..d_{k}\end{matrix}}


Mehrwertige Abhängigkeiten sind trivial, falls \beta \subseteq \alpha oder \alpha \cup \beta =R.

Hüllenbildung

Im Zusammenhang mit der Normalisierung von Datenbanken wird oftmals die Menge aller von mehrwertigen Abhängigkeiten implizierten Abhängigkeiten benötigt. Ausgangspunkt ist die Menge D bestehend aus funktionalen Abhängigkeiten FD und mehrwertigen Abhängigkeiten MVD. Ziel ist die Bestimmung der Hülle D^{+}. Analog zu den Armstrong-Axiomen zur Erweiterung der funktionalen Abhängigkeiten werden hier nachfolgende Axiome angewendet:

  1. Reflexivität, Erweiterung und Transitivität für funktionale Abhängigkeiten
  2. Wiederholung: Falls \alpha \rightarrow \beta , dann auch \alpha \twoheadrightarrow \beta
  3. Komplement: Zu jedem \alpha \twoheadrightarrow \beta existiert auch \alpha \twoheadrightarrow R-\alpha -\beta
  4. Mehrwertige Erweiterung: Gelte \alpha \twoheadrightarrow \beta und sei \gamma \subseteq R sowie \delta \subseteq \gamma , dann gilt auch \alpha \gamma \twoheadrightarrow \beta \delta
  5. Mehrwertige Transitivität: Gilt \alpha \twoheadrightarrow \beta und \beta \twoheadrightarrow \gamma , dann gilt auch \alpha \twoheadrightarrow \gamma -\beta
  6. Verschmelzung: Gilt \alpha \twoheadrightarrow \beta , \gamma \subseteq \beta und existiert ein \delta mit \delta \subseteq R, \gamma \cap \delta =\varnothing und \delta \rightarrow \gamma , dann gilt auch \alpha \twoheadrightarrow \gamma

Auch hier helfen einige weitere abgeleitete Regeln:

  1. Mehrwertige Vereinigung: Wenn \alpha \twoheadrightarrow \beta und \alpha \twoheadrightarrow \gamma , dann gilt auch \alpha \twoheadrightarrow \beta \gamma
  2. Durchschnitt: Wenn \alpha \twoheadrightarrow \beta und \alpha \twoheadrightarrow \gamma , dann gilt auch \alpha \twoheadrightarrow \beta \cap \gamma
  3. Differenz: Wenn \alpha \twoheadrightarrow \beta und \alpha \twoheadrightarrow \gamma , dann gilt auch \alpha \twoheadrightarrow \beta -\gamma bzw. \alpha \twoheadrightarrow \gamma -\beta
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 15.05. 2020