Coulomb-Eichung

Die Coulomb-Eichung (aufgrund des Zusammenhangs mit dem Coulomb Potential (s.u.); auch Strahlungseichung oder transversale Eichung) ist eine mögliche Eichung der Elektrodynamik, beschreibt also eine Einschränkung der elektrodynamischen Potentiale.

Eichfreiheit der Elektrodynamik

Um die Lösung der Maxwell-Gleichungen zu erleichtern, führt man für das elektrische und das Magnetfeld das Skalarpotential $\Phi$ und das Vektorpotential ${\vec {A}}$ ein, die die klassisch beobachtbaren Felder durch

${\vec B}({\vec r},t)=\nabla \times {\vec A}({\vec r},t)$

${\vec E}({\vec r},t)=-\nabla \Phi -\partial _{t}{\vec A}({\vec r},t)$

beschreiben.

Diese Definition erlaubt sogenannte Eichfreiheiten in der Wahl von skalarem Potential und Vektorpotential, die keine Auswirkungen auf messbare Größen haben, insbesondere nicht auf elektrisches Feld und magnetische Flussdichte.

Die Coulomb-Eichung

Diese Eichfreiheit wird in der Coulomb-Eichung dazu genutzt, die Divergenzfreiheit des Vektorpotentials zu fordern:

$\nabla \cdot {\vec A}({\vec r},t)=0$

Wegen $\triangle =\nabla \cdot \nabla$ und ${\frac {\partial }{\partial t}}\nabla =\nabla {\frac {\partial }{\partial t}}$ folgen daraus die im nächsten Paragraphen notierten Resultate.

(Die Eichfreiheit besteht hier darin, dass man zu ${\mathrm A}$ ein beliebiges Wirbelfeld addieren kann, weil die Divergenz eines Vektors der Form $\nabla \times {{\mathrm V}}({{\mathrm r}},t)$ stets Null ergibt.)

Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen in der Coulomb-Eichung

Setzt man mit dieser Eichung die Potentiale in die sog. inhomogenen Maxwell-Gleichungen (das gaußsche Gesetz und das erweiterte Induktionsgesetz) ein, erhält man

$\triangle\Phi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}$ und

$\triangle\vec A-\frac{1}{c^2}\partial^2_t \vec A=-\mu_0\vec j+\frac{1}{c^2}\nabla\partial_t\Phi \,\,(=:\,-\mu_0\vec j_\mathrm{eff})$ .

Die erste Gleichung wird durch

$\Phi(\vec x,t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho(\vec x^\prime,t)}{\left|\vec x-\vec x^\prime\right|}\mathrm{d}^3x^\prime$

gelöst, also ist in dieser Eichung das Skalarpotential $\Phi$ identisch mit dem Coulomb-Potential.

Die zweite Gleichung ist eine inhomogene Wellengleichung mit der durch die Methode des retardierten Potentials gewonnenen Lösung:

$\vec A(\vec r,t)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\vec j_\mathrm{eff}(\vec x^\prime,t')}{\left|\vec x-\vec x^\prime\right|}\mathrm{d}^3x^\prime$ .

Dabei ist die retardierte Zeit gegeben durch $t':=t-{\frac {|{\vec x}-{\vec x}^{\prime }|}{c}}$ . Physikalisch entspricht die zuletzt angegebene Differenz der Zeitspanne, die ein Licht- oder Radarsignal braucht, um die Strecke vom Ausgangspunkt (dem Integrationpunkt) $\vec x'$ der Signale zum Ankunftspunkt ${\vec {x}}$ zu durchlaufen.

In der Nutzung zweier unterschiedlicher Zeiten im Integral - beim skalaren Potential t, beim Vektorpotential t' - besteht der Hauptvorteil bzw. Hauptnachteil der angegebenen Eichung. Die konkurrierende Lorenz-Eichung hat diesen Nachteil nicht, sondern ist explizit relativistisch invariant, indem sie durchgehend die Retardierung berücksichtigt.

Sind keine Quellen (Ladungen und Ströme) vorhanden, vereinfachen sich die Gleichungen zu

$\triangle \Phi =0$ und

$\triangle {\vec A}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec A}=0$ ,

das Vektorpotential erfüllt also die homogene Wellengleichung.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de