Konische Kombination

Eine konische Kombination (manchmal auch Nichtnegativkombination oder konische Linearkombination) und die eng verwandte Positivkombination sind spezielle Linearkombinationen, bei denen alle Koeffizienten nichtnegativ bzw. positiv sind. Sie treten meist im Zusammenhang mit konvexen Kegeln auf.

Definition

Gegeben sei ein  \mathbb{R}-Vektorraum V und  x, x_1, \dots, x_n \in V . Dann heißt x eine konische Kombination oder Nichtnegativkombination von  x_1, \dots, x_n , wenn es  \lambda_1, \dots, \lambda_n \geq 0 in \mathbb {R} gibt, so dass

 x= \sum_{i=1}\lambda_ix_i

gilt. Sind alle  \lambda_i > 0 , so spricht man von einer Positivkombination.

Eine Linearkombination mit nichtnegativen (bzw. positiven) Koeffizienten heißt also Nichtnegativ- (bzw. Positiv-) Kombination.

Eigenschaften

Die (unendlich ausgedehnte) konische Hülle von zwei Vektoren im \mathbb {R} ^{2}

Beispiel

Das Polynom  3 x^2+5x+2 ist eine konische Kombination der Monome x^{2},x,1 mit  \lambda_2=3, \, \lambda_1=5, \lambda_0=2 . Somit ist es auch eine Positivkombination der Monome. Wählt man hingegen als Monome  x^3, x^2, x,1 , so handelt es sich nur um eine konische Kombination und nicht um eine Positivkombination, da  \lambda_3=0, \lambda_2=3, \, \lambda_1=5, \lambda_0=2 ist.

Betrachtet man im \mathbb{R}^2 die Vektoren

{\displaystyle v={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}},\,v_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},\,v_{3}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}},

so lässt sich v auf mehr als eine Art als konische Kombination von  v_1, v_2, v_3 darstellen. Da v und v_{2} linear abhängig sind, ist eine mögliche konische Kombination  v= 0 v_1 + 2 v_2+ 0 v_3 . Eine zweite Möglichkeit wäre die Kombination  v= 1 v_1 + 0 v_2 + 1v_3 . Beides sind keine Positivkombinationen, da stets einer der Koeffizienten null ist.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 21.12. 2017