Interferenz

Die Überlagerung von zwei oder mehr Wellen, wobei Verstärkung oder Auslöschung eintritt. Die Interferenz erfolgt stets so, daß die resultierende Elongation gleich der Summe der Elongationen der einzelnen Wellen ist. In der oberen Abbildung ist die Interferenz zweier Wellen in einem Punkt des Raumes dargestellt, in dem sie mit gleicher Phase aufeinandertreffen (Phasendifferenz Null); sie verstärken einander daher maximal. In diesem Raumpunkt ist die Amplitude der resultierenden Welle doppelt so groß wie die (gleichen) Amplituden beider, die Intensität beträgt daher das Vierfache der Intensität der einzelnen Welle.


Interferenz zweier Wellen in einem Punkt des Raumes
Interferenz zweier Wellen

1. physikalische Erscheinung, daß sich mehrere Wellen beim Zusammentreffen an einem Ort gegenseitig beeinflussen. Haben 2 sich überlagernde Wellen gleiche Frequenz (Phasendifferenz 0), so verstärken sie sich am betrachteten Ort max., wenn sie mit gleicher Phase eintreffen, d. h. wenn Wellenberg mit Wellenberg und Wellental mit Wellental zusammenfallen. Max. Schwächung bzw. — bei gleicher Amplitude der beiden Wellen sogar Auslöschen — tritt auf, wenn ihr Phasenunterschied 180° beträgt, d. h., wenn Wellental und Wellenberg zusammenfallen. In der — Funknavigation spielt die Interferenz zwischen elektromagnetischen Wellen eine wichtige Rolle (Interferometer).

2. gegenseitige aerodynamische Beeinflussung 2 oder mehrerer im Luftstrom (Strömung) liegender Teile eines Körpers, die positiven oder negativen Charakter haben kann. Bei der Projektierung von Flugzeugen spielt die Interferenz von Rumpf, Tragflügel, Leitwerk und Triebwerksgondel eine große Rolle. Im Normalfall wird durch die Interferenz der Widerstand des Flugzeugs erhöht (bei ungünstiger Komposition der Teile bis zu 75% gegenüber der Summe aller Einzelteil-Widerstände) und der Auftrieb verringert, was seine Ursache im Verdicken der Grenzschicht, verbunden mit zusätzlicher Wirbelbildung und vorzeitigem Ablösen der Strömung, hat. Zum Verringern der negativen Interferenzwirkung sind günstige aerodynamische Übergänge zwischen den Hauptteilen der Flugzeugzelle erforderlich. Eine positive Interferenzerscheinung stellt der der Kompressionsauftrieb dar.

Interferenz in der Optik

Hauptartikel: Doppelspaltexperiment

Die Intefernz läßt sich nur mit der Wellentheorie des Lichtes erklären. (oder quantenmechanisch.)

Die Bezeichnung Interferenz wird außer in dem oben beschriebenen allgemeinen Sinn auch noch in einem speziellen gebraucht. Man unterscheidet nämlich zwei Arten von Interferenzerscheinungen:
Wird das Licht durch Kanten, Blenden oder im Vergleich zur Wellenlänge kleinen Hindernissen von der geradlinigen Ausbreitung abgelenkt, dann spricht man von Beugung. Diese kann durch die Interferenz der Huygenischen Elementarwellen (Huygenssches Prinzip) erklärt werden, wobei stets eine kontinuierliche Folge von Elementarwellen vorliegt.

Interferenz zweier Wellen gleicher Frequenz und Amplitude, aber unterschiedlicher Phase

Die Überlagerung zweier Wellen gleicher Frequenz und Amplitude lässt sich anhand der trigonometrischen Additionstheoreme berechnen. Werden die beiden Wellen f_1(t) und f_2(t) mit der gemeinsamen Frequenz \omega, der Amplitude a und den Phasen \varphi_1 und \varphi_2 durch

f_1 (t) = a \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi_1) und f_2 (t) = a \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi_2)\,

beschrieben, so ergibt sich für die resultierende Überlagerung der Wellen


f_1 (t) + f_2 (t) = a \left( \sin(\omega t + \varphi_1) + \sin(\omega t + \varphi_2) \right) = 2a \cos\left(\frac{\varphi_1 - \varphi_2}{2}\right) \sin\left(\omega t + \frac{\varphi_1 + \varphi_2}{2}\right)\,
,

d.h., es entsteht eine Welle derselben Frequenz, deren Amplitude von der Differenz der Phasen der beiden ursprünglichen Wellen abhängt und deren Phase das Mittel der Phasen der ursprünglichen Wellen ist. Für gleiche Phasen der Wellen (\varphi_1 = \varphi_2) wird der Cosinus Eins. Es ergibt sich eine Amplitude von 2a, d.h., die Amplitude verdoppelt sich gegenüber den Ausgangsamplituden, was konstruktiver Interferenz entspricht. Für eine Phasendifferenz von 180°,(\varphi_1 = \varphi_2 + \pi) wird der Cosinus Null, d.h., die resultierende Welle verschwindet. Dieses entspricht destruktiver Interferenz.

Interferenz zweier Wellen gleicher Frequenz aber unterschiedlicher Amplitude und Phase

Für gleiche Frequenz der Wellen, aber unterschiedliche Amplituden und Phasen lässt sich die resultierende Welle mittels Zeigerarithmetik berechnen. Die beiden Wellen g_1 (t) und g_2 (t) besitzen die gemeinsame Frequenz \omega, die Amplituden a_1 und a_2 und die Phasen \varphi_1 und \varphi_2


g_1 (t) = a_1 \cdot \sin(\omega t + \varphi_1) und g_2(t) = a_2 \cdot \sin(\omega t + \varphi_2)\,
.

Die resultierende Überlagerung der Wellen hat die Form:


g_1 (t) + g_2 (t) = A \cdot \sin(\omega t + \varphi)\,

mit der Amplitude:


A =\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos(\varphi_1 - \varphi_2) }\,

und der Phase \varphi


\tan \varphi = \frac{a_1 \sin(\varphi_1) + a_2 \sin(\varphi_2)}{a_1 \cos(\varphi_1) + a_2 \cos(\varphi_2)}\,.

Überlagerung von Kreiswellen

Die Abbildung links zeigt die Interferenz von zwei kreisförmigen Wellengruppen gleicher Wellenlänge und Amplitude. Die Kreuze markieren die Lage der Quellen, die Kreise die Maxima der jeweiligen Teilwelle. An weißen Stellen tritt konstruktive Interferenz, in positiver Richtung, an schwarzen konstruktive Interferenz, in negativer Richtung, auf. An den grauen Stellen herrscht destruktive Interferenz. Es ist zu erkennen, dass die Minima auf einer Hyperbelschar liegen, deren Brennpunkte identisch den Quellorten der Wellen sind. Man spricht deshalb bei zwei Punktquellen von einer hyperbolischen Interferenz. Die Hyperbel ist dabei die Kurve aller Punkte, die zu den zwei Quellorten die Laufzeitdifferenz t = \tfrac{\lambda}2 haben. Der Scheitelpunktabstand \!\ 2 a entspricht der Laufzeitdifferenz \!\ 2 a = (T_1 - T_2) v, wenn \!\ T_1 und \!\ T_2 den Zeitbezug der beiden speisenden Zeitfunktionen darstellen und v die mediale Ausbreitungsgeschwindigkeit darstellt.

In der rechten Abbildung wird die Veränderung des Interferenzbildes in Abhängigkeit von der Wellenlänge (nimmt von oben nach unten zu) und in Abhängigkeit vom Abstand der Quellen (nimmt von links nach rechts zu) demonstriert. In den dunklen Bereichen (um die Interferenzminima) liegt destruktive und in den hellen (Maxima) konstruktive Interferenz vor.

Interferenz in der Quantenmechanik

Erklärung

Interferenzmuster von Elektronen nach Beugung am Doppelspalt

In der Quantenmechanik spielen Interferenzphänomene eine entscheidende Rolle. Teilchen (und allgemeiner beliebige Zustände eines Systems) werden durch Wellenfunktionen beschrieben. Diese sind die Lösungen der Schrödingergleichung, die eine Form ähnlich einer Wellengleichung annehmen kann. Damit können sich Teilchen, also Materie, in der Quantenmechanik wie Wellen verhalten und auch interferieren (siehe auch Welle-Teilchen-Dualismus, Materiewellen). Ein bekanntes Beispiel ist etwa die Interferenz von Elektronen in einem Doppelspaltexperiment (siehe auch: die Bilder rechts!) oder die Interferenz zweier Bose-Einstein-Kondensate

Der Arbeitsgruppe von Anton Zeilinger ist es 1999 gelungen, ein Interferenzmuster von Fullerenen (Molekülen aus 60 oder 70 Kohlenstoff-Atomen) zu beobachten. Dieses sind bei weitem nicht die schwersten Teilchen, für die Quanteninterferenz beobachtet werden konnte. Die Forschungsgruppe rund um Markus Arndt setzte die von Zeilinger initiierten Experimente an der Universität Wien fort und konnte 2010 Quanteninterferenz mit Molekülen aus bis zu 430 Atomen und Massen bis fast 7000 atomaren Masseneinheiten zeigen.

Bemerkenswert an dieser Form von Interferenz ist allerdings, dass die Messung, welchen Weg ein Quantenobjekt gewählt hat („Welcher-Weg“-Information), dazu führt, dass auch nur noch dieser „benutzt“ wird – also keine Interferenz auftritt. In einer Doppelspaltanordnung hängt das Interferenzmuster also davon ab, ob man herausfinden kann, welchen Weg (durch Spalt 1 oder Spalt 2) das Quantenobjekt nahm. Dies gilt auch, wenn der Weg des Quantenobjekts nicht schon beim Passieren der Spalte sondern erst später festgestellt wird (verzögerter Messprozess). Nur wenn eine Gewinnung der „Welcher-Weg“-Information nie erfolgte oder sie durch einen Quantenradierer wieder getilgt wurde, ergibt sich hinter dem Doppelspalt ein Interferenzbild.

Mathematische Fassung

In der Bra-Ket-Notation lässt sich ein beliebiger quantenmechanischer Zustand in einer orthonormierten Basis \{|i\rangle\} (\langle i|j\rangle=\delta_{ij}) darstellen. Dabei sind die c_i, b_i\in\mathbb{C} komplexe Koeffizienten:


|\psi\rangle=\sum\limits_ic_i\cdot|i\rangle,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\phi\rangle=\sum\limits_ib_i\cdot|i\rangle\,

Für die Wahrscheinlichkeit, dass ein System im Zustand |\psi\rangle im Zustand |\phi\rangle gemessen wird lautet dann:


\mathcal{P}(\psi\rightarrow\phi)=|\langle\psi|\phi\rangle|^2=\left|\sum\limits_{i}c_i^\ast b_i\right|^2 =\sum\limits_{i,j}c_i^\ast c_jb_i^\ast b_j=\sum\limits_i|c_i|^2|b_i|^2+\sum\limits_{i\neq j}c_i^\ast c_jb_i^\ast b_j\,

Wichtig ist hier, dass nicht die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der Teilchen \rho(x)=|\langle x|\psi\rangle|^2 überlagert werden, sondern die (komplexen) Wellenfunktionen selbst. Würden die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten überlagert, so würde man in obiger Formel den hinteren Interferenzanteil verlieren und das Interferenzmuster verschwindet.

De Broglie postulierte bereits Anfang des 20. Jahrhunderts, dass allen massiven Teilchen eine Wellenlänge \lambda = \tfrac{h}{p} zugeschrieben werden kann, wobei \!\ p der Impulsdes Teilchens ist und \!\ h das Plancksche Wirkungsquantum. Mit dieser Wellenlänge kann man direkt die Wellenfunktion f (\vec x, t) für ein Teilchen konstruieren und so die Interferenzmuster mit den weiter oben für Licht beschriebenen Methoden berechnen.


 
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 26.12. 2017