Transversalitätssatz

Der Transversalitätssatz ist ein auf René Thom zurückgehender Satz der Differentialtopologie, der die Grundlage für zahlreiche topologische Konstruktionen wie zum Beispiel die Pontrjagin-Thom-Konstruktion, die Kobordismustheorie, Chirurgietheorie sowie die Definition von Schnittzahlen und Verschlingungszahlen bildet.

Satz

Sei {\displaystyle f\colon M\rightarrow N} eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und U eine Untermannigfaltigkeit von N. Dann gibt es zu jeder strikt positiven Funktion {\displaystyle \delta \colon M\rightarrow \mathbb {R} } (und jeder Metrik auf N eine \delta -Approximation von f, die transversal zu U ist.

Erläuterungen: Eine differenzierbare Abbildung {\displaystyle g\colon M\rightarrow N} ist transversal zur Untermannigfaltigkeit U, wenn

{\displaystyle T_{g(x)}N=T_{g(x)}U+d_{x}g(T_{x}M)\quad \forall \,x\in g^{-1}(U)}

gilt. (Insbesondere auch wenn {\displaystyle g^{-1}(U)=\emptyset }.) Eine Abbildung {\displaystyle g\colon M\rightarrow N} ist eine δ-Approximation von {\displaystyle f\colon M\rightarrow N} falls

{\displaystyle d(f(x),g(x))<\delta (x)\quad \forall \,x\in M,}

gilt. Für hinreichend kleine \delta >0 ist jede δ-Approximation homotop zu f. Insbesondere folgt aus dem Transversalitätssatz also die Existenz einer zu f homotopen Abbildung, die transversal zu U ist. Zu jedem {\displaystyle \epsilon \colon M\rightarrow \mathbb {R} } gibt es ein {\displaystyle \delta \colon M\rightarrow \mathbb {R} }, so dass es zu jeder δ-Approximation g von f eine Homotopie {\displaystyle H\colon M\times \left[0,1\right]\rightarrow N} zwischen f und g gibt, bei der für jedes t\in \left[0,1\right] die Abbildung {\displaystyle H(.,t)} eine ε-Approximation von f ist.

Beispiele

Relative Version und Homotopietransversalitätssatz

Sei {\displaystyle f\colon M\rightarrow N} eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und U eine Untermannigfaltigkeit von N. Sei A eine Untermannigfaltigkeit von M und die Einschränkung {\displaystyle f\mid _{A}} sei transversal zu U. Dann gibt es zu jeder strikt positiven Funktion {\displaystyle \delta \colon M\rightarrow \mathbb {R} } (und jeder Metrik auf N) eine \delta -Approximation von f, die transversal zu U ist und auf A mit f übereinstimmt.

Als einen Spezialfall erhält man den Homotopietransversalitätssatz:

Seien M,N differenzierbare Mannigfaltigkeiten und U eine Untermannigfaltigkeit von N. Sei {\displaystyle F\colon M\times \left[0,1\right]\rightarrow N} eine differenzierbare Abbildung, für die {\displaystyle f_{0}:=F(.,0)\colon M\rightarrow N} und {\displaystyle f_{1}:=F(.,1)\colon M\rightarrow N} transversal zu U sind. Dann gibt es eine Abbildung {\displaystyle G\colon M\times \left[0,1\right]\rightarrow N}, die transversal zu U ist und auf {\displaystyle M\times \left\{0\right\}} bzw. {\displaystyle M\times \left\{1\right\}} mit f_{0} bzw. f_{1} übereinstimmt.

In Worten: wenn zwei transversale Abbildungen homotop sind, dann gibt es auch eine transversale Homotopie.

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 29.12. 2020