Transversalitätssatz
Der Transversalitätssatz ist ein auf René Thom zurückgehender Satz der Differentialtopologie, der die Grundlage für zahlreiche topologische Konstruktionen wie zum Beispiel die Pontrjagin-Thom-Konstruktion, die Kobordismustheorie, Chirurgietheorie sowie die Definition von Schnittzahlen und Verschlingungszahlen bildet.
Satz
Sei eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und eine Untermannigfaltigkeit von . Dann gibt es zu jeder strikt positiven Funktion (und jeder Metrik auf eine -Approximation von , die transversal zu ist.
Erläuterungen: Eine differenzierbare Abbildung ist transversal zur Untermannigfaltigkeit , wenn
gilt. (Insbesondere auch wenn .) Eine Abbildung ist eine δ-Approximation von falls
gilt. Für hinreichend kleine ist jede δ-Approximation homotop zu . Insbesondere folgt aus dem Transversalitätssatz also die Existenz einer zu homotopen Abbildung, die transversal zu ist. Zu jedem gibt es ein , so dass es zu jeder δ-Approximation von eine Homotopie zwischen und gibt, bei der für jedes die Abbildung eine ε-Approximation von ist.
Beispiele
- ist nicht transversal zur x-Achse, jedoch ist für jedes die Abbildung transversal zur x-Achse.
- Falls , dann folgt aus dem Transversalitätssatz, dass es zu jeder Abbildung eine δ-Approximation gibt, deren Bild disjunkt zu ist.
Relative Version und Homotopietransversalitätssatz
Sei eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und eine Untermannigfaltigkeit von . Sei eine Untermannigfaltigkeit von und die Einschränkung sei transversal zu . Dann gibt es zu jeder strikt positiven Funktion (und jeder Metrik auf ) eine -Approximation von , die transversal zu ist und auf mit übereinstimmt.
Als einen Spezialfall erhält man den Homotopietransversalitätssatz:
Seien differenzierbare Mannigfaltigkeiten und eine Untermannigfaltigkeit von . Sei eine differenzierbare Abbildung, für die und transversal zu sind. Dann gibt es eine Abbildung , die transversal zu ist und auf bzw. mit bzw. übereinstimmt.
In Worten: wenn zwei transversale Abbildungen homotop sind, dann gibt es auch eine transversale Homotopie.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 29.12. 2020