Galoiskohomologie

Unter Galoiskohomologie versteht man im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie das Studium der Gruppenkohomologie von Galoisgruppen.

Ist L|K eine Körpererweiterung und A ein Galoismodul, also ein Modul unter der Galoisgruppe Gal(L|K), so schreibt man

{\displaystyle \,H^{*}(L|K,A)=H^{*}(\mathrm {Gal} (L|K),A)} (zur Notation siehe den Artikel Gruppenkohomologie)

Ist speziell L = Ksep ein separabler Abschluss von K, so schreibt man auch

{\displaystyle \,H^{*}(K,A)=H^{*}(G_{K},A)=H^{*}(\mathrm {Gal} (K^{\mathrm {sep} }|K),A).}

Eines der ersten Resultate der Galoiskohomologie ist Hilberts Satz 90, der besagt:

{\displaystyle H^{1}(K,(K^{\mathrm {sep} })^{\times })=0}.

Vor allem in der Klassenkörpertheorie ist die Beziehung zwischen Galoiskohomologie und Brauergruppe wichtig:

{\displaystyle H^{2}(K,(K^{\mathrm {sep} })^{\times })=\mathrm {Br} (K)}.
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Basierend auf einem Artikel in: Extern Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 27.07. 2018