Extensive Abbildung

Extensivität bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Abbildung, Mengen „zu vergrößern“. Entsprechend „verkleinern“ intensive (auch anti-extensive) Abbildungen Mengen.

Definition

Sei (A,\leq ) eine teilweise geordnete Menge. Eine Abbildung

{\displaystyle f\colon \,A\to A}

heißt extensiv, falls gilt:

{\displaystyle a\leq f(a)} für alle a\in A.

Sie heißt intensiv, falls gilt:

{\displaystyle f(a)\leq a} für alle a\in A.

Beispiele

  1. Auf (A,\leq ) ist die Identität {\displaystyle \operatorname {id} _{A}\colon \,a\mapsto a} extensiv und intensiv, da {\displaystyle a\leq a} immer gilt.
  2. Definitionsgemäß sind Hüllenoperatoren extensiv und Kernoperatoren intensiv auf der Potenzmenge einer beliebigen Menge mit der mengentheoretischen Inklusion als Halbordnung.

Fixpunktsatz von Bourbaki-Kneser

Nach dem Fixpunktsatz von Bourbaki und Kneser besitzt jede extensive Abbildung f\colon A \rightarrow A bereits dann einen Fixpunkt, falls A streng induktiv geordnet ist. Daraus lässt sich unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms das Lemma von Zorn beweisen.

Literatur

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 08.10. 2021