Extensive Abbildung
Extensivität bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Abbildung, Mengen „zu vergrößern“. Entsprechend „verkleinern“ intensive (auch anti-extensive) Abbildungen Mengen.
Definition
Sei eine teilweise geordnete Menge. Eine Abbildung
heißt extensiv, falls gilt:
- für alle .
Sie heißt intensiv, falls gilt:
- für alle .
Beispiele
- Auf ist die Identität extensiv und intensiv, da immer gilt.
- Definitionsgemäß sind Hüllenoperatoren extensiv und Kernoperatoren intensiv auf der Potenzmenge einer beliebigen Menge mit der mengentheoretischen Inklusion als Halbordnung.
Fixpunktsatz von Bourbaki-Kneser
Nach dem Fixpunktsatz von Bourbaki und Kneser besitzt jede extensive Abbildung bereits dann einen Fixpunkt, falls streng induktiv geordnet ist. Daraus lässt sich unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms das Lemma von Zorn beweisen.
Literatur
- Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut u.a., Mannheim u.a. 1982, ISBN 3-411-01638-8.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 08.10. 2021