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Hyperbelfunktion

Sinus Hyperbolicus (rot)
Kosinus Hyperbolicus (blau)
Tangens Hyperbolicus (grün)
Kosekans Hyperbolicus (rot)
Sekans Hyperbolicus (blau)
Kotangens Hyperbolicus (grün)

Zu den Hyperbelfunktionen gehören:

sinh und cosh sind für alle komplexen Zahlen definiert und auf dem gesamten Gebiet der komplexen Zahlen holomorph. Die übrigen Hyperbelfunktionen haben Pole auf der imaginären Achse.

Definition

Eine Gerade aus dem Ursprung schneidet die Hyperbel x^2-y^2=1 im Punkt (\cosh A,\sinh A), wobei A die Fläche zwischen der Geraden, ihrem Spiegelbild an der x-Achse, und der Hyperbel ist.

Definition über die Exponentialfunktion

vergl: Exponentialfunktion
\sinh(z) := \frac{e^z - e^{-z}}{2}
\cosh(z) := \frac{e^z + e^{-z}}{2}

Daher sind die hyperbolischen Funktionen periodisch (mit rein imaginärer Periode). Die Potenzreihen von cosh(z) und sinh(z) entstehen aus denen von cos(z) und sin(z), indem alle Minuszeichen durch Pluszeichen ersetzt werden.

Geometrische Definition mit Hilfe der Hyperbel

Der Name Hyperbelfunktionen stammt daher, dass sie zur Parametrisierung der Hyperbel x^2-y^2=1 verwendet werden können:

x = cosh(t), y = sinh(t)

ganz in Analogie zum Kreis x^2 + y^2 = 1, der durch Sinus und Kosinus parametrisiert werden kann: x = cos(t) und y = sin(t).

Die Funktionen stellen eine Verbindung her zwischen der Fläche A, die von einer vom Nullpunkt ausgehenden Geraden und ihrem Spiegelbild an der x-Achse sowie der Hyperbel eingeschlossen wird, und der Länge verschiedener Strecken.

Dabei ist sinh(A) die (positive) y-Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Hyperbel und cosh(A) die dazugehörige x-Koordinate. tanh(A) ist die y-Koordinate der Geraden bei x=1, d.h. die Steigung der Geraden.

Berechnet man die Fläche durch Integration, erhält man die Darstellung mit Hilfe der Exponentialfunktion.

Eigenschaften der reellen Hyperbelfunktionen

Graph der reellen Hyperbelfunktionen

Für alle reelle Zahlen x sind auch \sinh(x) und \cosh(x) reell.

Die reelle Funktion \sinh ist streng monoton steigend und besitzt in 0 ihren einzigen Wendepunkt.

Die reelle Funktion \cosh ist für Werte < 0 streng monoton fallend,

für Werte > 0 streng monoton steigend, und besitzt bei x=0 ein globales Minimum.

Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen

Wegen \sinh , \cosh \colon \R \mapsto \R gelten alle Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen, die im nachfolgenden Absatz aufgeführt sind, auch auf die reell-eingeschränkten Funktionen.

Für alle komplexen Zahlen z, z_1, z_2 gilt:

Symmetrie und Periodizität

d.h. es liegt rein „imaginäre Periodizität“ vor mit minimaler Periodenlänge 2 \pi.

Additionstheoreme

Zusammenhänge

{\cosh}^2 (z) - {\sinh}^2 (z) = 1

Ableitung

Die Ableitung des Sinus Hyperbolicus lautet:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{\sinh}(z)={\cosh} (z).

Die Ableitung des Kosinus Hyperbolicus lautet:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{\rm cosh}(z)={\sinh} (z).

Die Ableitung der Tangens Hyperbolicus lautet:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{\tanh}(z)=1-{\operatorname{tanh}}^2 (z).

Differentialgleichung

Die Funktionen \sinh(z) und \cosh(z) bilden wie e^z und e^{-z} eine Basis der (linearen) Differentialgleichung

\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}z^2} f(z) = f(z).

Fordert man allgemein für die beiden Basislösungen f_i(z) dieser Differentialgleichung 2-ter Ordnung noch f_1(0)=0 und f_2(0)=1, so sind sie bereits eindeutig durch sinh und cosh festgelegt. Sprich, diese Eigenschaft kann ebenfalls als Definition dieser beiden Hyperbelfunktionen herangezogen werden.

Bijektivität der komplexen Hyperbelfunktionen

sinh

Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:

A := \{ z \,\vert - \pi / 2 < \operatorname{Im}\,z < \pi / 2 \}
B := \{ z \,\vert \operatorname{Re}\,z \ne 0 \vee \operatorname{Im}\,z = \pm 1 \}

Dann bildet die komplexe Funktion \sinh den „Streifen“ A bijektiv auf B ab.

cosh

Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:

A := \{ z \,\vert 0 < \operatorname{Im}\,z < \pi \}
B := \{ z \,\vert \operatorname{Im}\,z \ne 0 \vee \operatorname{Re}\,z = \pm 1 \}

Dann bildet die komplexe Funktion \cosh den „Streifen“ A bijektiv auf B ab.

Alternative Namen

Abgeleitete Funktionen

Umrechnungstabelle

Funktion  \sinh  \cosh  \tanh  \coth  \operatorname{sech}  \operatorname{csch}
 \sinh(x)=  \sinh(x)\,  \sgn(x)\sqrt{\cosh^2(x)-1}  \frac{\tanh(x)}{\sqrt{1 - \tanh^2(x)}}  \frac{ \sgn(x)}{\sqrt{\coth^2(x) - 1}}  \sgn(x)\frac{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2(x)}}{\operatorname{sech}(x)}  \frac{1}{\operatorname{csch}(x)}
 \cosh(x)=  \,\sqrt{1+\sinh^2(x)}  \,\cosh(x)  \, \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2(x)}}  \, \frac{\left|\coth(x)\right|} {\sqrt{\coth^2(x)- 1}}  \, \frac{1}{\operatorname{sech}(x)}  \, \frac{\sqrt{1+\operatorname{csch}^2(x)}}{\left|\operatorname{csch}(x)\right|}
 \tanh(x)=  \,\frac{\sinh(x)}{\sqrt{1+\sinh^2(x)}}  \,\sgn(x)\frac{\sqrt{\cosh^2(x)-1}}{\cosh(x)}  \,\tanh(x)  \,\frac{1}{\coth(x)}  \,\sgn(x) \sqrt{1-\operatorname{sech}^2(x)}  \,\frac{\sgn(x)}{ \sqrt{1+\operatorname{csch}^2(x)}}
 \coth(x)=  \,\frac{\sqrt{1+\sinh^2(x)}}{\sinh(x)}  \,\sgn(x)\frac{\cosh(x)}{\sqrt{\cosh^2(x)-1}}  \,\frac{1}{\tanh(x)}  \,\coth(x)  \,\frac{\sgn(x)}{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2 (x)}}  \,\sgn(x) \sqrt{1+\operatorname{csch}^2 (x)}
 \operatorname{sech}(x)=  \,\frac{1}{\sqrt{1+\sinh^2(x)}}  \,\frac{1}{\cosh(x)}  \,\sqrt{1 - \tanh^2(x)}  \,\frac{\sqrt{\coth^2(x)- 1}}{\left|\coth(x)\right|}  \, \operatorname{sech}(x)  \,\frac{\left|\operatorname{csch}(x)\right|}{\sqrt{1+\operatorname{csch}^2 (x)}}
 \operatorname{csch}(x)=  \, \frac{1}{\sinh(x)}  \, \frac{\sgn(x)}{\sqrt{\cosh^2(x)-1}}  \, \frac{\sqrt{1-\tanh^2(x)}}{\tanh(x)}  \, \sgn(x)\sqrt{\coth^2(x)- 1}  \, \sgn(x)\frac{\operatorname{sech}(x)}{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2 (x)}}  \, \operatorname{csch}(x)

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heißen Area-Funktionen.

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Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 28.12. 2019