Satz von Bézout
In der Algebraischen Geometrie beschreibt der klassische Satz von Bézout die Anzahl der Schnittpunkte ebener algebraischer Kurven. Er wurde von Étienne Bézout im 18. Jahrhundert formuliert und (im Rahmen der laxeren Ansprüche jener Zeit) bewiesen.
Aussage
Sei
ein algebraisch
abgeschlossener Körper
und seien
und
zwei projektive ebene Kurven im zweidimensionalen projektiven Raum
ohne gemeinsame Komponenten. Dann gilt:
wobei
die Schnittzahl
bezeichnet.
Folgerungen
- Zwei projektive ebene Kurven
und
schneiden sich immer in mindestens einem Punkt und maximal in
verschiedenen Punkten.
- Für affine ebene Kurven
und
ohne gemeinsame Komponenten gilt die Ungleichung
.
Verallgemeinerung
Eine Verallgemeinerung für algebraische Varietäten lautet wie folgt:
Seien ,
algebraische Varietäten vom Grad
bzw.
im
-dimensionalen
projektiven Raum
.
Ferner sei
eine Varietät der Dimension
.
Dann ist .



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 27.11. 2019