Wellenpaket

Ein Wellenpaket, eine Wellengruppe oder ein Wellenzug ist eine räumlich oder zeitlich begrenzte Welle. Mathematisch kann ein Wellenpaket als zusammengesetztes System einfacherer Wellen aufgefasst werden. Insbesondere kann ein Wellenpaket durch Superposition (Addition) mehrerer ebener Wellen dargestellt werden. Diese Zerlegung des Wellenpakets nach Frequenzkomponenten ist durch die Fouriertransformation motiviert und kann experimentell mit einem Spektrometer bestimmt werden.

Ausbreitung eines eindimensionalen Wellenpakets ohne Dispersion

Mathematische Formulierung

ebene bzw. monochromatische Welle (Realteil/Cos-Welle)
Ein Wellenpaket, das aus einer Überlagerung verschiedener monochromatischer Wellen (siehe obere Abbildung) zusammengesetzt ist.

Ein Wellenpaket \psi (x,t) kann als Summe ebener Wellen definiert werden:

\psi (x,t)=\sum \limits _{j}C_{j}\cdot e^{{{\mathrm  {i}}(\omega _{j}\cdot t-k_{j}\cdot x)}}

Dabei sind

Physikalisch sinnvoll ist nur der Realteil oder Imaginärteil (auch \psi +\psi *) des Wellenpakets.

Ein Wellenpaket ist, genau wie eine ebene Welle, eine Lösung der allgemeinen Wellengleichung

{\frac  {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}={\frac  {1}{c^{2}}}\cdot {\frac  {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}

Dies ergibt sich aus der Linearität der Wellengleichung bzw. dem Superpositionsprinzip.

Man hat weiterhin eine Lösung der Wellengleichung, wenn man von der Summe zum Integral übergeht. Dabei legt C(k) die Amplitudenverteilung fest, die jetzt von der Wellenzahl k abhängt:

{\displaystyle {\text{(1)}}:\,\psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }C(k)\cdot e^{\mathrm {i} (\omega t-k\cdot x)}\mathrm {d} k}

Beispiel: Gaußsches Wellenpaket

Gaußsches Wellenpaket

Ein häufig verwendetes Beispiel für ein Wellenpaket ist das Gaußsche Wellenpaket. Hierbei handelt es sich um eine Welle, deren Amplitudenverteilung C(k) eine Gaußverteilung ist.

Eine Besonderheit des Gaußschen Wellenpakets liegt darin, dass die Fouriertransformation einer Gaußfunktion wieder eine Gaußfunktion ergibt. Somit führt die Vorgabe einer gaußverteilten Amplitudenverteilung auf eine gaußförmige Welle im Ortsraum. Gibt man umgekehrt einem Wellenpaket im Ortsraum die Gaußform, so ist die Frequenzverteilung dieses Wellenpakets automatisch gaußverteilt.

Zusätzlich ist das Gaußsche Wellenpaket dasjenige Wellenpaket mit der geringsten Unschärfe. D.h. bei keinem anderen Wellenpaket ist das Produkt der Breite der Welle im Ortsraum und ihrer Breite im Frequenzraum geringer.

Mathematisch

Setzt man in obiger Gleichung (1) für die Amplitudenverteilung eine Gaußfunktion

C(k)=e^{{-{\frac  {(k-k_{0})^{2}}{(2/a)^{2}}}}}

ein, so erhält man nach der Integration zum Zeitpunkt t=0:

\psi (x,0)=\left({\frac  {2}{\pi a^{2}}}\right)^{{1/4}}\cdot e^{{-x^{2}/a^{2}}}\cdot e^{{i\cdot k_{0}\cdot x}}

Nebenstehende Abbildung zeigt das Ergebnis. Man hat jetzt nur noch einen Bereich, in dem die Amplitude merklich von 0 verschieden ist.

Dispersion

Reflektierte Impulse bei unbelastetem Kabel

Meistens ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle frequenzabhängig (z.B. Licht in Materie), so dass das Wellenpaket „zerläuft“, d.h. seine Breite wird mit der Zeit immer größer (oder kleiner) und die räumliche Bestimmtheit immer ungenauer. Wellenpakete, die keine Dispersion zeigen, also ihre Form und Breite beibehalten, werden auch als Solitonen bezeichnet.

Mit folgendem Versuch kann man nachweisen, dass sich elektromagnetische Wellen über einen extrem großen Wellenlängenbereich von wenigen Zentimetern bis zu einigen Kilometern (Frequenzbereich 20 kHz bis etwa 2 GHz) mit gleicher Geschwindigkeit ausbreiten, dass also keine Dispersion für elektromagnetische Wellen in einem Koaxialkabel auftritt: Ein Impulsgenerator erzeugt kurze Spannungsimpulse von etwa 10 ns Dauer bei einer Folgefrequenz von etwa 20 kHz. Schickt man diese durch ein etwa 20 m langes Koaxialkabel, werden sie am offenen Ende reflektiert und laufen wieder zurück. Je nach Kabeldämpfung kann man etwa hundert Impulse beobachten, deren Form sich nicht ändert. Die unvermeidlichen ohmschen Verluste im Kabel und am Verbindungswiderstand zwischen Generator und Kabel bewirken eine gewisse Amplitudenabnahme aber keine Formänderung der Einhüllenden der Wellenpakete.

Mit einer Fourieranalyse kann man den Frequenzgehalt der sehr kurzen Spannungsimpulse bestimmen:

Würde sich die Laufzeit der Impulse aufgrund von Dispersion merklich unterscheiden, müsste sich gemäß den Gesetzen der Fouriersynthese auch die Kurvenform der Impulse ändern. Da dies nicht beobachtet wird, folgt daraus die Konstanz der Ausbreitungsgeschwindigkeit im Kabel im beschriebenen Frequenzbereich.

Anwendungen

Mehrdimensionales Wellenpaket

Gleichung (1) ist auch vektoriell ausdrückbar:

{\vec  {\psi }}({\vec  {x}},t)=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}{\mathrm  d}k_{x}\int _{{-\infty }}^{{\infty }}{\mathrm  d}k_{y}\int _{{-\infty }}^{{\infty }}{\mathrm  d}k_{z}{\vec  C}({\vec  k}){\mathrm  e}^{{{\mathrm  i}(\omega t-{\vec  x}\cdot {\vec  k})}}

Zum Zeitpunkt t=0 kann man dem Raum ein initiales Muster C({\vec  x})=\operatorname {FT}[C]({\vec  k}) [Anmerkung 2] aufprägen (Generator), das mittels des Huygensschen Prinzips dann für alle folgenden Zeitschritte räumlich weiter propagiert wird (Iterator).

Wellenzug

Unter einem Wellenzug wird eine zeitlich begrenzte (Dauer \Delta t) Welle einer Frequenz f verstanden. Obwohl alle Schwingungen des Wellenzuges die gleiche Periode 1/f haben, besteht das Spektrum des Wellenzuges nicht einzig aus der Frequenzkomponente f. Aus der Fouriertheorie folgt mit der Zeitbegrenztheit eine Mindestbreite des Frequenzspektrums \Delta f:

\Delta t\cdot \Delta f\geq 1 (Küpfmüllersche Unbestimmtheitsrelation).

Anmerkungen

  1. Die Amplitude C_{j} (Großbuchstabe) der j-ten Frequenzkomponente darf nicht mit ihrer Phasengeschwindigkeit c(\omega _{j}) (Kleinbuchstabe) verwechselt werden. Die hier verwendeten Symbole sind aber in dieser Form üblich. So werden in der Theorie der Fouriertransformation die komplexen Koeffizienten mit C_{j} bezeichnet. Die Real- und Imaginärteile dagegen oft mit A_{j} und B_{j}.
  2. FT[.] steht hier für die Fouriertransformation


Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 20.11. 2017