Welle

Jeder sich von eimem Orte räumlich ausbreitende Schwingungsvorgang φ = φ (r,t) (Schwingung).
Die Geschwindigkeit, mit der sich die Phase der Welle, also ein bestimmter (an sich beliebiger) Phasenzustand (Phasenwert) der Schwingung ausbreitet, nennt man die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle.

Mathematische Beschreibung

Bezeichnung Symbol Beziehungen
Amplitude \mathbf A_0
\mathbf A_0\perp\mathbf k Transversalwelle
\mathbf A_0\|\mathbf k Longitudinalwelle
Wellenvektor \mathbf k Ausbreitungsrichtung
Wellenzahl k\, k=|\mathbf k|
Wellenlänge \mathbf\lambda \mathbf\lambda= 2\mathbf\pi/k
Kreisfrequenz \mathbf\omega \mathbf\omega\left(\mathbf k\right) Dispersionsrelation
Frequenz f\, f=\mathbf\omega/2\mathbf\pi
Phasengeschwindigkeit c\, c=\mathbf\omega/k=\mathbf\lambda f
Gruppengeschwindigkeit v_G\, v_G=d\mathbf\omega/dk
Phase \varphi \varphi=\mathbf k\cdot \mathbf r-\omega t

Zur mathematischen Beschreibung von Wellen sind mehrere Größen nötig. Dazu zählen Amplitude, Phase und Ausbreitungs- oder Phasengeschwindigkeit. Die nebenstehende Tabelle gibt einen Überblick über die Größen, die zur vollständigen Beschreibung nötig sind.

Wellenfunktion

Mathematisch spricht man von einer Welle, wenn die Wellenfunktion \mathbf A(\mathbf r, t), also die die Welle mathematisch beschreibende Gleichung, eine Lösung einer Wellengleichung ist. Diese Funktionen hängen im Allgemeinen von Ort \mathbf r und Zeit t\, ab.

Dabei gibt \mathbf A die Auslenkung am Ort \mathbf r zur Zeit t\, an. Funktionen dieses Typs entsprechen der Vorstellung, dass Wellen räumlich ausgedehnte Schwingungen sind. Eine allgemeine Funktion für jede Art von Welle anzugeben, ist dabei nicht ohne weiteres möglich. Häufig werden daher sehr einfache Lösungen der Wellengleichung herangezogen und die reale Welle als eine Überlagerung von vielen dieser Lösungen angesehen. Die gebräuchlichsten Elementarlösungen sind die Ebene Welle und die Kugelwelle.

Amplitude

Die Amplitude \mathbf A_0 ist die maximale mögliche Auslenkung der Welle. Sie ist bei Wellen – im Gegensatz zu Schwingungen – eine vektorielle Größe, da neben der Stärke der Auslenkung auch deren Richtung entscheidend ist. Ist die Ausbreitungsrichtung parallel zur Amplitude, handelt es sich um eine Longitudinalwelle, ist sie senkrecht, um eine Transversalwelle. In beiden Fällen ist die Intensität der Welle proportional zum Quadrat der Amplitude.

Phase

Phasenverschobene Sinusschwingungen gleicher Frequenz
Sinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz

Die Phase einer Welle gibt an, in welchem Abschnitt innerhalb einer Periode sich die Welle zu einem Referenzzeitpunkt und -ort befindet. Sie legt also fest, wie groß die Auslenkung ist. Im Beispiel einer ebenen Welle ist \varphi=\mathbf k \cdot \mathbf r -\omega t die Phase zum Zeitpunkt t\, am Ort \mathbf r. Die Phase hängt also von den zwei Parametern Wellenvektor \mathbf k und Kreisfrequenz \omega ab.

Beispiele

Die mathematische Formulierung für eine harmonische (auch: homogene, monochromatische) ebene Welle im dreidimensionalen Raum ist in komplexer Schreibweise:

\mathbf A(\mathbf r,t) = \operatorname{Re}\left(\mathbf A_0 e^{ i\left(\mathbf k\cdot \mathbf r-\omega t\right)}\right) 
  	= \operatorname{Re}(\mathbf A_0) \cos(\mathbf k\cdot\mathbf r - \omega t ) - \operatorname{Im}(\mathbf A_0) \sin(\mathbf k\cdot\mathbf r - \omega t ).

Eine Kugelwelle lässt sich mit folgender Gleichung beschreiben:

\mathbf A(r,t) = \operatorname{Re}\left(\frac{\mathbf A_0}{r} e^{i(kr-\omega t)}\right) = \frac{\operatorname{Re}(\mathbf A_0)}{r} 
  	\cos(kr - \omega t) - \frac{\operatorname{Im}(\mathbf A_0)}{r} \sin(kr - \omega t) .

Arten von Wellen

Es gibt - ihrer physikalischen Natur nach - Wellen verschiedener Art. Man kann eimal unterscheiden zwischen Lichtwellen, allgemein elektromagnetischen Wellen, Schallwellen, Flüssigkeitswellen, Oberflächenwellen, Scherungswellen,... u.a..

Abgesehen von dieser Art der Unterscheidung sind bei elektromagnetischen Wellen noch zu unterscheiden nach Eigenschaften der Wellenflächen und Eigenschaften ihrer Schwingungen.

Unterschieden nach der Schwingungsrichtung gibt es:

Unterschieden nach der Fläche gibt es:

Wellenfläche

Wellenfronten (in schwarz) einer sich geradlinig (in rot) ausbreitenden Transversalwelle
Wellenfront

Die Fläche gleicher Phase einer beliebigen (zwei- oder dreidimensional) sich ausbreitenden Welle.

Die Wellenfront ist gleichzeitig die orthogonalen Trajektorien der Strahlen des betreffenden Strahlenbündels, das der Welle zugeordnet ist, so daß also die Strahlen die Wellenflächennormale sind und als solche nur eine Idealisierung darstellen.

Nach dem Huygensschen Prinzip kann jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer kugelförmigen Elementarwelle betrachtet werden. Die resultierende Wellenfront entsteht danach aus der Überlagerung dieser Elementarwellen. So kann die Brechung und Beugung von Wellenfronten berechnet werden.

Transversalwelle

Schwingungs- und Ausbreitungsrichtung einer Longitudinalwelle (a) und einer Transversalwelle (b)
Hauptartikel: Transversalwelle

Eine Transversalwelle – auch Quer-, Schub- oder Scherwelle genannt – ist eine physikalische Welle, bei der eine Schwingung senkrecht zu ihrer Ausbreitungsrichtung erfolgt.

Die Schwingung einer Transversalwelle ist in der gesamten Ebene möglich, die Senkrecht auf ihrer Ausbreitungsrichtung steht. Läuft die Welle beispielsweise in x-Richtung, kann die Schwingung in y-Richtung, z-Richtung oder in einer beliebigen (nicht zwingend festen) Kombination beider Richtungen erfolgen, also in der kompletten y-z-Ebene.

Longitudinalwellen

Hauptartikel: Longitudinalwelle

Longitudinalwellen sind Druckwellen. Das bedeutet, dass sich in einem Medium Zonen mit Überdruck bzw. Druckspannung (bzw. Unterdruck oder Zugspannung) in der Ausbreitungsrichtung fortpflanzen bzw. verschieben oder ausbreiten.

Die einzelnen Teilchen im Ausbreitungsmedium, Atome oder Moleküle, schwingen hierbei in Richtung der Ausbreitung um den Betrag der Amplitude hin und her. Nach dem Durchlauf der Schwingung bewegen sich die Teilchen wieder an ihre Ruhestellung, die Gleichgewichtslage, zurück. Durch die Ausbreitung der Schwingung geht keine Energie verloren, abgesehen von Reibungsverlusten zwischen den Teilchen.

Siehe auch


 
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 04.10. 2016