Volumenarbeit

Wenn ein Kolben um ein Wegstück \Delta z gegen einen äußeren Druck p expandiert, leistet er die Volumenarbeit {\displaystyle W_{\rm {1,2}}}.

Die Volumenarbeit oder Volumenänderungsarbeit ist die an einem geschlossenen System zu leistende Arbeit W, um ein Volumen V_1 auf das Volumen V_2 zu verändern:

Die Formel für die Volumenarbeit lautet:

W_{{1,2}}=-\int \limits _{{s}}F(s)\cdot {\mathrm  {d}}s.

Hierbei ist F(s) die Kraft, die längs eines Weges s wirkt; dieser wird in Expansionsrichtung positiv gezählt (in der Abbildung entgegen der gezeigten Kompressionskraft F_p).

Das Minuszeichen in der Formel ist eine Konvention; so wird erreicht, dass dem System zugeführte Arbeit wie oben beschrieben positiv ist, freiwerdende Energie dagegen ein negatives Vorzeichen erhält. Bei der dargestellten Kompression hat der zurückgelegte Weg ein negatives Vorzeichen \left({\mathrm  {d}}s<0\right), welches durch das zusätzliche Minuszeichen in der Formel für die Volumenarbeit kompensiert wird.

Reibungsloser Vorgang

Die reibungsfrei und quasistatisch zugeführte Arbeit ist in dem dargestellten Zylinder mit dem Querschnitt A \left(\Rightarrow {\mathrm  {d}}s={\frac  {{\mathrm  {d}}V}{A}}\right)

wegen F=p\cdot A (Reibungsfreiheit):

\Rightarrow W_{{\mathrm  {1,2}}}=-\int \limits _{{V_{1}}}^{{V_{2}}}p\cdot {\mathrm  {d}}V

mit

Diese Zustandsänderung verläuft im p-V-Diagramm vom Punkt 1 zum Punkt 2, bei der dargestellten Kompression also in negativer Volumenrichtung \left({\mathrm  {d}}V<0\right); daher hätte die Kompressionsarbeit ohne das Minuszeichen in der Formel ein negatives Vorzeichen.

Der Integralwert, der der Fläche unter dem Zustandsverlauf entspricht, lässt sich berechnen, wenn die Funktion p = f(V) bekannt ist (s.u.).

Reibungsbehafteter Vorgang

Im realen Fall, wenn zwischen dem Kolben und dem Zylinder eine Reibungskraft wirkt, muss beim Komprimieren zusätzlich zur Volumenänderungsarbeit die Reibungsarbeit W_{R} aufgebracht werden. Diese erhöht die innere Energie des Systems und damit den Druck gegenüber dem reibungsfreien Vorgang (wenn sie nicht durch Kühlung als Wärme nach außen abgeführt wird):

{p_{2}}'>p_{2}

Im p-V-Diagramm verläuft die Zustandsänderung nun vom Punkt 1 zum Punkt 2’. Das heißt, dass auch die Volumenänderungsarbeit, die der Fläche unter dem Verlauf entspricht, größer wird, ohne dass darin die Reibungsarbeit selbst enthalten ist:

\Rightarrow W_{{1,2'}}>W_{{1,2}}

Die von außen aufzubringende Arbeit ist also die Summe aus der nunmehr größeren Volumenänderungsarbeit und der Reibungsarbeit:

W_{{{\mathrm  {ext}}}}=W_{{1,2'}}+W_{R}

Berechnungsbeispiel

Angenommen sei die isotherme Verdichtung eines idealen Gases \left(T={\text{konst.}}\right).

Dann lässt sich durch Einsetzen der thermischen Zustandsgleichung idealer Gase:

p(V)=n\cdot R\cdot T\cdot {\frac  {1}{V}}

mit

das Integral für die Volumenarbeit lösen:

{\begin{aligned}\Rightarrow W_{{\mathrm  {1,2}}}&=-&n\cdot R\cdot T\cdot \ln {\frac  {V_{2}}{V_{1}}}\\&=&n\cdot R\cdot T\cdot \ln {\frac  {V_{1}}{V_{2}}}\end{aligned}}

Anhand dieser Gleichung sieht man, dass bei der Expansion eines idealen Gases die Volumenarbeit negativ ist, also Energie frei wird; dies folgt aus dem Logarithmus, der für Zahlen kleiner eins negativ und für Zahlen größer eins positiv ist:

{\begin{aligned}V_{2}>V_{1}\\\Leftrightarrow {\frac  {V_{2}}{V_{1}}}>1\\\Leftrightarrow \ln {\frac  {V_{2}}{V_{1}}}>0\\\Rightarrow W_{{\mathrm  {1,2}}}<0\end{aligned}}

Statt n·R kann man oben auch m·Rs einsetzen:

n\cdot R=m\cdot R_{{\mathrm  {s}}}

wobei

Wird die Kompression in einem offenen System mit dem Außendruck p_{0} durchgeführt, muss an tatsächlicher Arbeit

W_{{\mathrm  {1,2}}}+p_{0}\cdot (V_{2}-V_{1})

aufgebracht werden, da der Außendruck mit der Fläche multipliziert ebenfalls eine Kraft ergibt. Ist der Außendruck höher als der Innendruck des zu komprimierenden Volumens wird dabei Energie gewonnen, ist er geringer muss dabei Arbeit geleistet werden.

Siehe auch



Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 03.03. 2017