Phasenraum

Der Phasenraum beschreibt die Menge aller möglichen Zustände eines physikalischen Systems [Anm. 1]. Jeder Zustand des Systems entspricht einem Punkt im Phasenraum. Der Phasenraum beschreibt (im Gegensatz zum Zustandsraum) nicht die Zeit.

Für Systeme mit bis zu drei Variablen kann der Phasenraum graphisch dargestellt werden. Dieses Phasenraumportrait oder Phasenportrait bietet die Möglichkeit, einige charakteristische Strukturen wie Nullklinen und Fixpunkte sowie das Vektorfeld der Dynamik des Systems zu erfassen, ohne die explizite Lösung der Bewegungsgleichungen kennen zu müssen. Ein solches Vorgehen nennt man Phasenraumanalyse.

Ein Phasenraum kann in Unterräume zerlegt werden. Zum Beispiel bildet im Phasenraum eines Massenpunktes der Unterraum der möglichen Ortsvektoren den Ortsraum und der Unterraum der möglichen Impulsvektoren den Impulsraum.

Trajektorien im Phasenraum

Trajektorie eines gedämpften Feder-Masse-Schwingers

Die Menge aller Punkte, die von einem bestimmten Anfangspunkt aus die zeitliche Entwicklung des Systems bestimmen, heißt Trajektorie. Trajektorien bilden im Phasenraum kreuzungsfreie Kurven, so dass man von jedem der Punkte einer Trajektorie ihren weiteren Verlauf eindeutig bestimmen kann. Gäbe es zwei sich kreuzende Trajektorien, so wäre die Lösung der kanonischen Gleichungen nicht eindeutig, und man erhielte keine eindeutige Vorhersage. Geschlossene Kurven, sogenannte Orbits, sind jedoch möglich, sie beschreiben oszillierende Systeme.

Ein dynamisches System, dessen Trajektorien den gesamten Phasenraum ausfüllen, also jedem Punkt im Phasenraum beliebig nahe kommen, nennt man ergodisch.

Trotz ihrer Kreuzungsfreiheit können Trajektorien unterschiedlich dicht im Raum liegen. Dies wird durch die Phasenraumdichte quantitativ beschrieben, die auch in der statistischen Mechanik von zentraler Bedeutung ist. Wichtig für die Klassifikation eines dynamischen Systems ist die Entwicklung der Phasenraumdichte bzw. des Phasenraumvolumens mit der Zeit:

Phasenraumanalyse

Phasenporträt des gedämpften Feder-Masse-Schwingers mit Vektorfeld und Trajektorie
Phasenportrait des van-der-Pol-Oszillators mit Vektorfeld und typischen Trajektorien

Das Phasenraumportrait gibt eine Möglichkeit, die zeitlichen Entwicklungen dynamischer Systeme graphisch zu analysieren. Dazu werden nur die dynamischen Gleichungen des Systems benötigt, eine explizite Darstellung der Zeitentwicklung, etwa durch analytisches Lösen einer Differentialgleichung, ist nicht nötig.

Als Beispiel folgen einige Elemente der Phasenraumanalyse in einem zweidimensionalen System {x, y}, das durch die Differentialgleichungen

x' = f_x(x,y) und
y' = f_y(x,y)

beschrieben ist:

Anwendung

In der hamiltonschen Mechanik ist der Phasenraum der Raum der Orte und Impulse. Bei einer Anzahl von n freien Massenpunkten ist dieser Raum also 6n-dimensional. Das zugehörige Differentialgleichungssystem wird aus den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen gebildet.

Da Licht einer bestimmten Wellenlänge der Impuls \vec p=\hbar \vec k zugeordnet ist, kann ihm in der Strahlenoptik eine "Bahn" im Phasenraum zugeordnet werden.

Unterscheidung zum Konfigurationsraum

Der Konfigurationsraum besteht im Unterschied zum Phasenraum nur aus den möglichen Orten der betrachteten Teilchen. Bei n Teilchen in drei Dimensionen ist der Konfigurationsraum also 3n-dimensional. Der Konfigurationsraum ist jedoch kein Phasenraum, da die Angabe des Ortes das System nicht vollständig beschreibt. Insbesondere können sich Trajektorien im Konfigurationsraum beliebig oft schneiden. Der Phasenraum im Sinne der Hamiltonschen Mechanik ist das Kotangentialbündel über dem Konfigurationsraum.

Anmerkungen

  1. Der Name erklärt sich daraus, dass bis Anfang des 20. Jahrhunderts Zustände auch Phasen genannt wurden. Er hat weder mit den verschiedenen Phasen einer periodischen Bewegung noch mit den Phasen thermodynamischer Phasenübergänge etwas zu tun.

Siehe auch



Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
 
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 04.12. 2017