Bernoullische Gleichung

Flügelprofil in einer Wasserströmung: Das Wasser auf der Flügeloberseite muß schneller fließen als an der Flügelunterseite;
nach der Bernoullischen Gleichung herrscht an der Oberseite ein geringerer Druck als an der Unterseite.

Von Daniel Bernoulli aufgestellte Grundgleichung der Hydrodynamik. Ausdruck des Gesetzes von der Erhaltung der Energie für einen konkreten Bewegungszustand einer Flüssigkeit oder eines Gases. Ursprünglich als Gleichung für die stationäre Strömung inkompressibler, reibungsfreier Flüssigkeiten und Gase aufgestellt (Hydrodynamik). Sie sagt aus, ohne Berücksichtigung der Schwerkraft, daß die Summe aus dem statischen Druck p und dem dynamischen Druck oder Staudruck 1/2 ρ × v2 (ρ Dichte, v Geschwindigkeit des strömenden Stoffs) einen konstanten Wert p0 längs eines Stromfadens hat; d. h., der statische Druck in einer Strömung ist um so kleiner, je größer deren Geschwindigkeit ist. Für die stationäre Strömung kompressibler, reibungsfreier Gase (Gasdynamik) wurde später eine analoge Beziehung abgeleitet, die heute ebenfalls als B. G. bezeichnet wird und erläutert, daß in einer stationären Gasströmung ohne Wärmeaustausch mit dem umgebenden Medium die Gesamtenergie einer Masseeinheit des Gases entlang eines Stromfadens konstant bleibt

 

links) B. G. für stationäre Strömung inkompressibler, reibungsfreier Flüssigkeiten und Gase:
rechts) B. G. für stationäre Strömung kompressibler, reibungsfreier Gase:

Beweis der Existenz der durch die B. G. ausgedrückten Gesetzmäßigkeit ist z. B. die Entstehung einer Druckdifferenz in verschiedenen Querschnitten einer Venturidüse ( Abbildung unten). Die B. G. wird z.B. zur Ermittlung von Kräften an umströmten Körpern angewendet.

Herleitung aus dem Energiesatz

Der Massenpunkt im Potentialfeld

Betrachtet man einen Massenpunkt konstanter Masse m, der sich nur auf Grund eines stationären Kraftfeldes  \vec F bewegt, das sich als Gradient eines Skalarpotentials \Phi = \Phi (\vec r): \  -m \vec \nabla \Phi = \vec F schreiben lässt, genügt er der Bewegungsgleichung:

 \dot \vec v = - \vec \nabla \Phi.

Hier ist \vec v die Geschwindigkeit und \dot \vec v = \frac{d \vec v}{dt} die Beschleunigung. In der klassischen Physik werden viele Prozesse mit einer Gleichung von diesem Typ beschrieben. Beispiele sind:

Auch Linearkombinationen dieser Prozesse werden durch die Bewegungsgleichung beschrieben.

Multipliziert man die Bewegungsgleichung skalar mit \vec v, erhält man nach Integration mit der Substitutionsregel die Gleichung für die spezifische Energie:

 \frac{v^2}{2} + \Phi = \mbox{const.}

Die Summe aus kinetischer (v2 / 2) und potentieller (Φ) spezifischer Energie ist konstant.

Die Navier-Stokes-Gleichungen

Die Bewegungsgleichung der Strömungslehre ist die Navier-Stokes-Gleichung. Für Stationarität (p = p(\vec r)) und Reibungsfreiheit (η = λ = 0) hat sie die gleiche Form wie oben allgemein. Der Druck ist hier das Skalarpotential des Kraftfeldes. Die obige Forderung nach einem Massepunkt konstanter Masse wird durch eine konstante Dichte der Strömung erreicht.

Die Energiegleichung leitet sich wie oben ab und ist das Gesetz von Bernoulli:

 \frac{v^2}{2} + \frac{p}{\rho} = \mbox{const}.

Der Term 0,5ρv2 heißt auch dynamischer Druck oder Staudruck. Seine Summe mit dem statischen Druck p ist konstant. \frac{p}{\rho} ist als Potential gleichwertig wie die Potentiale diskutiert im vorigen Abschnitt. Befindet sich die Strömung z.B. im Schwerefeld der Erde, addiert sich zu dem Gesetz von Bernoulli das .

Aus der Herleitung folgt, dass das Gesetz von Bernoulli für Strömungen gilt, die alle folgenden Kriterien erfüllen:

Direkte Betrachtung der Bewegungsgleichung

Die Impulsadvektion in der Navier-Stokes-Gleichung schreibt sich nach der Weber-Transformation:

( \vec v \cdot \vec \nabla ) \vec v
= \vec \nabla \left ( \frac{v^2}{2} \right )
- \vec v \times ( \vec \nabla \times \vec v ).

Mit der zusätzlichen Annahme, dass die Strömung wirbelfrei ( \vec \nabla \times \vec v = 0 ) ist, wird die Navier Stokes Gleichung für stationäre, reibungsfreie Strömung konstanter Dichte:

\vec \nabla \left ( \rho \frac{v^2}{2} + p \right )
= 0.

Diese Gleichung lässt sich nun direkt entlang eines beliebigen Weges integrieren zum Gesetz von Bernoulli:

\rho \frac{v^2}{2} + p = \mbox{const.}

Folgerung: Ist die Strömung wirbelfrei, gilt das Gesetz von Bernoulli nicht nur entlang einer Trajektorie wie aus der Energetik abgeleitet sondern in der gesamten Strömung

Antwort auf die offenen Fragen des Absatzes Venturi-Effekt

Mit den oben stehen Herleitungen sind die offenen Fragen zu beantworten:

  1. Die Kraft zur Beschleunigung der Fluidteilchen in die Engstelle hinein ist die Druckgradientkraft.
  2. Der Energiesatz bleibt gewahrt. Die Änderung der kinetischen Energie bei Querschnittsänderung des Rohres korrespondiert mit der Änderung des Drucks als Form der potentiellen Energie.

Anwendung

Dieses Prinzip findet in unserem Alltag in vielen Dingen Anwendung. Beispiele sind:

Für diese Anwendungen gilt:

Siehe auch



 
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 17.05. 2017