Feldlinie
Feldlinie (oder Kraftlinie) ist ein Begriff der Physik. Feldlinien sind gedachte
oder gezeichnete Linien (i. A. gekrümmt), die die von einem Feld auf einen Probekörper
ausgeübte Kraft
veranschaulichen. Die an eine Feldlinie gelegte Tangente
gibt die Kraftrichtung im jeweiligen Berührungspunkt an; die Dichte der
Feldlinien gibt die Stärke des Feldes an.
Feld in der Umgebung eines Stabmagneten. Eisenfeilspäne auf Papier zeichnen die
Richtung der Feldlinien nach. Die Eisenteilchen verklumpen.
Beispiele
- Gravitationsfeldlinien
veranschaulichen die Schwerkraft auf eine Probemasse. Auf der Erde – im Erdschwerefeld – sind
diese Feldlinien praktisch Geraden, die Lotlinien oder Vertikalen,
die man durch ein Schnurlot
sichtbar machen kann.
- Elektrische Feldlinien veranschaulichen die Coulombkraft auf
elektrische Probeladungen. Sie beginnen auf positiven Ladungen und enden auf
negativen Ladungen (oder jeweils in der Unendlichkeit).
- Magnetische
Feldlinien veranschaulichen die magnetischen Kräfte auf Magnetpole. Sie
sind in sich geschlossen, treten am Nordpol
eines Magneten aus diesem aus und am Südpol in ihn ein. Allgemein zeigen sie
stets in die Richtung, in die der Nordpol einer frei drehbaren Kompassnadel
zeigt. Magnetische Dipole (z. B. Kompassnadeln) richten sich entlang den
Feldlinien aus, da der eine Pol eine Kraft in Feldrichtung erfährt und
der andere Pol eine Kraft in entgegengesetzter Richtung.
Die Gestalt und Dichte von magnetischen und elektrischen Feldlinien lassen
sich mittels einfacher Demonstrationsexperimente sichtbar machen: Eisen wird –
wie alle ferromagnetischen
Materialien – durch ein Magnetfeld magnetisiert.
Daher lagern Eisenspäne, z. B. auf einem Blatt Papier, sich aneinander an und
bilden Ketten entlang der magnetischen Feldlinien. Ganz ähnlich wirkt das
elektrische Feld auf Grießkörner
in einer zähen, dielektrischen Flüssigkeit wie beispielsweise Rizinusöl. Die
Körner werden durch das Feld elektrisch polarisiert und ordnen sich daher
entlang der elektrischen Feldlinien an.
Eigenschaften
- Der Betrag der Feldstärke
ist proportional
zur Feldliniendichte, und zwar nicht in der zweidimensionalen
Darstellung, sondern im Raum: Die Zahl der Feldlinien, die durch eine
orthogonal zu den Feldlinien orientierte Einheitsfläche hindurchtreten.
- Feldlinien schneiden einander niemals. Wenn sich mehrere Felder in einem
Punkt überlagern, geben die Feldlinien die Richtung der resultierenden
Kraft an.
- Feldlinien von Quellenfeldern (etwa Felder von elektrischen Ladungen, oder
Gravitationsfelder) gehen von einem Punkt aus oder enden in einem Punkt.
- Feldlinien von Wirbelfeldern (etwa Magnetfelder
oder elektrische Felder, die durch sich ändernde Magnetfelder induziert
werden) haben keinen Anfang und kein Ende, sondern sind geschlossene
Linien.
- Der Verlauf der Linien kann durch folgende Eselsbrücke
anschaulich erläutert werden: Feldlinien „wollen“ immer möglichst kurz sein,
stoßen sich aber gegenseitig ab.
- Wenn die Feldlinien in einem bestimmten Gebiet gerade und parallel sind
und eine konstante Dichte aufweisen, spricht man von einem homogenen
Feld. Ist dies nicht der Fall, heißt das Feld inhomogen.
- Wenn sich Verlauf und Dichte der Feldlinien im Laufe der Zeit nicht
ändern, nennt man das Feld stationär.
Richtung (Orientierung) von Feldlinien
Die Feldlinien zeigen in Richtung der Feldstärke:
- Beim Magnetfeld zeigen die Feldlinien in die Richtung, in die der Nordpol
eines Elementarmagneten (Minikompass) zeigt. In der Umgebung eines Permanentmagneten
verlaufen die Feldlinien daher vom Nord- zum Südpol.
- Beim elektrischen Feld zeigen die Feldlinien in Richtung der Kraft, die auf eine positive
Probeladung wirkt. In einem elektrostatischen (von Ladungen ausgehenden) Feld
verlaufen sie also von der positiven zur negativen Ladung.
Begründung der Felddarstellung mittels Linien
Unterschiedliche Darstellungsmöglichkeiten des Feldes um eine geladene Kugel,
weit entfernt von anderen Ladungen. Das rechte Bild mit Linksdrall wird bei
statischen Feldern nicht beobachtet, es dient nur zu
Illustration.
Am Beispiel einer geladenen Kugel, die eine Kraftwirkung auf andere geladene
Teilchen in der Umgebung ausübt, können verschiedene Möglichkeiten einer
anschaulichen graphischen Darstellung des Feldes diskutiert werden.
- Im linken Bild ist das schwächer werdende Feld durch geringere
Farbsättigung dargestellt. Das hat den großen Vorteil, dass Fragen wie „Gibt
es auch eine Kraft zwischen den Kraftlinien?“ erst gar nicht gestellt werden,
weil die Fläche lückenlos bedeckt ist. Der Nachteil dieser Darstellung ist,
dass es nicht einfach ist, dem Bild die Richtung der Kraft – das ist die
Richtung der stärksten Änderung der Farbsättigung – zu entnehmen.
Tiefergehende Fragen, etwa ob das Feld radialsymmetrisch (wie im mittleren
Bild) oder z. B. mit Linksdrall wie im rechten Bild gestaltet ist, kann man
mit der Farbsättigungsdarstellung überhaupt nicht beantworten.
- Diese Feinheiten lassen sich in den Feldlinienbildern problemlos
darstellen, allerdings mit dem Nachteil, dass oft Fragen gestellt werden wie
„Gibt es nur diese Feldlinien oder liegen noch mehr davon dazwischen?“
oder „Gibt es weiter außen mehr Stellen ohne Feldlinien?“ oder „Spürt
ein geladenes Teilchen auf einer tangentialen Bahn abwechselnd viel und
weniger Kraft, wenn es die Feldlinien überquert?“
- Die Frage, ob für eine geladene Kugel die mittlere oder z. B. die rechte
Darstellung zutrifft, lässt sich nur experimentell oder durch Kenntnis
besonderer "Regeln" (Feldlinien enden auf leitenden Flächen immer
senkrecht) beantworten (Richtig ist die mittlere Darstellung). Bei der
linken Darstellung stellt sich diese Frage überhaupt nicht.
- Wie kann man zeichnerisch darstellen, ob ein Teilchen von der geladenen
Kugel angezogen oder abgestoßen wird? Mit der Farbsättigungs-Darstellung ist
dies nicht möglich. Die beiden anderen Darstellungen ermöglichen eine
Unterscheidung durch Pfeilspitzen an den Linien.
- Die Liniendarstellung bietet gewisse Vorteile im Zusammenhang mit der
graphischen Lösung von Differentialgleichungen (Richtungsfeld).
- Die Liniendarstellung ist einfacher zu zeichnen und drucktechnisch zu
reproduzieren. Dies ist historisch sicherlich der wichtigste Grund, warum sie
sich durchgesetzt hat.
Theoretischer Hintergrund
Eine Feldlinie bezeichnet einen Pfad entlang eines Vektorfeldes auf einer
differenzierbaren Mannigfaltigkeit,
beispielsweise entlang des elektrischen Feldes im Ortsraum. Da
das Vektorfeld jedem Punkt der Mannigfaltigkeit einen
Tangentialvektor
zuordnet, Feldlinien aber, um sinnvoll von „Feldliniendichte“ sprechen zu
können, zueinander Abstände haben müssen, wird klar, warum man das Konzept
„Feldlinie“ nur zur qualitativen Veranschaulichung benutzt.
Typische Vektorfelder, wie sie Gegenstand der Elektrodynamik sind, lassen
sich mit dem Zerlegungssatz
in einen Gradienten- und einen Wirbelfeldanteil zerlegen. Die Feldlinien des
Gradientenfeldes verlaufen zwischen den Senken und den Quellen, beim Wirbelfeld
sind alle Feldlinien geschlossene Schleifen, die sich nicht kreuzen.
Formal charakterisiert man z.B. im elektrischen Feld die Feldlinien im
Punkt
durch die Gleichung

Wobei
die infinitesimale Fortsetzung der durch den Punkt
verlaufenden Feldlinie darstellt. Dieser Gleichung genügen wegen der Definition
des Kreuzprodukts alle
Vektoren, die parallel zu den Feldlinien in diesem Punkt sind. Im
zweidimensionalen Fall (
)
reduziert sich diese Gleichung auf

Das Feldlinienbild ermöglicht einen zwanglosen Zugang zum Gaußschen Integralsatz: Alle Feldlinien des Feldes
,
die ihren Ursprung in einem Gebiet
haben, das durch den Rand
begrenzt ist, müssen entweder auch in diesem Gebiet enden oder durch den Rand
hindurch stoßen. Folglich gilt:

In Worten: Die gesamte Quellenstärke des Vektorfeldes in einem Gebiet ist
gleich groß wie der Fluss durch seine Randfläche. Daraus folgt sofort für
kugelsymmetrische Probleme

da sich die Feldlinien auf die Kugeloberfläche mit Radius
„verteilen“. Diese Proportionalität findet sich z. B. im
Gravitationsgesetz
oder im Coulomb-Gesetz.
Siehe auch
Basierend auf einem Artikel in Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:
Jena, den: 08.02. 2016